Номер 3, страница 68 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

3. Найдите:

1) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{1}{6} $ и $ 0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ $;

2) $ \sin \alpha $, если $ \cos \alpha = \frac{1}{7} $;

3) $ \cos \alpha $, если $ \sin \alpha = \frac{3}{8} $.

3. Найдите:

1) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{1}{6}$ и $0^\circ \leq \alpha \leq 90^\circ$;

2) $\sin \alpha$, если $\cos \alpha = \frac{1}{7}$;

3) $\cos \alpha$, если $\sin \alpha = \frac{3}{8}$.

1) cos α, если sin α = 1/6 и 0° ≤ α ≤ 90°

Для решения используем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Выразим из этого тождества $cos^2 \alpha$:

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$

Подставим известное значение $sin \alpha = \frac{1}{6}$ в формулу:

$cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{6})^2 = 1 - \frac{1}{36} = \frac{36}{36} - \frac{1}{36} = \frac{35}{36}$

Теперь найдем $cos \alpha$, извлекая квадратный корень:

$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{35}{36}} = \pm\frac{\sqrt{35}}{6}$

По условию задачи, угол $\alpha$ находится в диапазоне $0^\circ \le \alpha \le 90^\circ$, что соответствует I координатной четверти. В этой четверти значения косинуса положительны. Поэтому мы выбираем положительный корень.

Ответ: $\frac{\sqrt{35}}{6}$.

2) sin α, если cos α = 1/7

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Выразим из тождества $sin^2 \alpha$:

$sin^2 \alpha = 1 - cos^2 \alpha$

Подставим известное значение $cos \alpha = \frac{1}{7}$:

$sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{7})^2 = 1 - \frac{1}{49} = \frac{49}{49} - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

Извлекая квадратный корень, находим $sin \alpha$:

$sin \alpha = \pm\sqrt{\frac{48}{49}} = \pm\frac{\sqrt{48}}{7}$

Упростим выражение под корнем: $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$.

Таким образом, $sin \alpha = \pm\frac{4\sqrt{3}}{7}$.

Поскольку в условии не указана четверть, в которой находится угол $\alpha$, возможны два значения для синуса.

Ответ: $\pm\frac{4\sqrt{3}}{7}$.

3) cos α, если sin α = 3/8

Снова применяем основное тригонометрическое тождество: $sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1$.

Выразим $cos^2 \alpha$:

$cos^2 \alpha = 1 - sin^2 \alpha$

Подставим известное значение $sin \alpha = \frac{3}{8}$:

$cos^2 \alpha = 1 - (\frac{3}{8})^2 = 1 - \frac{9}{64} = \frac{64}{64} - \frac{9}{64} = \frac{55}{64}$

Находим $cos \alpha$, извлекая квадратный корень:

$cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{55}{64}} = \pm\frac{\sqrt{55}}{8}$

Так как четверть, в которой находится угол $\alpha$, не задана, косинус может принимать как положительное, так и отрицательное значение.

Ответ: $\pm\frac{\sqrt{55}}{8}$.