Номер 306, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

306. Прямая, параллельная медиане $CD$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Площади треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$ относятся как 1 : 17. Найдите отрезок $MK$, если $CD = 9$ см.

306. Прямая, параллельная медиане $CD$ треугольника $ABC$, пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $K$ соответственно. Площади треугольника $AMK$ и четырёхугольника $BCKM$ относятся как $1 : 17$. Найдите отрезок $MK$, если $CD = 9$ см.

По условию задачи дано отношение площади треугольника $AMK$ к площади четырехугольника $BCKM$: $ \frac{S_{AMK}}{S_{BCKM}} = \frac{1}{17} $.

Пусть площадь треугольника $AMK$ равна $S_{AMK} = x$, тогда площадь четырехугольника $BCKM$ равна $S_{BCKM} = 17x$. Площадь всего треугольника $ABC$ является суммой площадей треугольника $AMK$ и четырехугольника $BCKM$: $ S_{ABC} = S_{AMK} + S_{BCKM} = x + 17x = 18x $.

Поскольку $CD$ является медианой треугольника $ABC$, она делит его на два равновеликих (равных по площади) треугольника: $ADC$ и $BDC$. Следовательно, площадь треугольника $ADC$ составляет половину площади треугольника $ABC$: $ S_{ADC} = \frac{1}{2} S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 18x = 9x $.

Теперь найдем отношение площадей треугольников $AMK$ и $ADC$: $ \frac{S_{AMK}}{S_{ADC}} = \frac{x}{9x} = \frac{1}{9} $.

Рассмотрим треугольники $AMK$ и $ADC$. Угол $A$ у них общий. Так как по условию прямая $MK$ параллельна прямой $CD$ ($MK \parallel CD$), то углы $\angle AMK$ и $\angle ADC$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $MK$, $CD$ и секущей $AB$. Следовательно, треугольник $AMK$ подобен треугольнику $ADC$ по двум углам ($\triangle AMK \sim \triangle ADC$).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия, который, в свою очередь, равен отношению соответствующих сторон: $ \frac{S_{AMK}}{S_{ADC}} = \left(\frac{MK}{CD}\right)^2 $.

Подставим известные значения в это равенство: $ \frac{1}{9} = \left(\frac{MK}{CD}\right)^2 $.

Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $ \frac{MK}{CD} = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3} $.

Отсюда выражаем длину отрезка $MK$: $ MK = \frac{1}{3} \cdot CD $.

По условию задачи длина медианы $CD = 9$ см. Подставляем это значение: $ MK = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 $ см.

Ответ: 3 см.