Номер 302, страница 67 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

302. Площади двух правильных треугольников относятся как 4 : 7. Сторона меньшего треугольника равна 8 см. Найдите сторону большего треугольника.

302. Площади двух правильных треугольников относятся как $4 : 7$. Сторона меньшего треугольника равна 8 см. Найдите сторону большего треугольника.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади меньшего и большего правильных треугольников соответственно, а $a_1$ и $a_2$ — их стороны.

По условию задачи, отношение площадей $\frac{S_1}{S_2} = \frac{4}{7}$, а сторона меньшего треугольника $a_1 = 8$ см.

Все правильные (равносторонние) треугольники подобны друг другу. Отношение площадей двух подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия, который, в свою очередь, равен отношению их соответственных сторон.
Это можно записать в виде формулы:
$\frac{S_1}{S_2} = (\frac{a_1}{a_2})^2$

Подставим известные значения в эту формулу:
$\frac{4}{7} = (\frac{8}{a_2})^2$

Возведем в квадрат выражение в правой части уравнения:
$\frac{4}{7} = \frac{8^2}{a_2^2}$
$\frac{4}{7} = \frac{64}{a_2^2}$

Теперь решим полученную пропорцию относительно $a_2^2$:
$4 \cdot a_2^2 = 64 \cdot 7$
$a_2^2 = \frac{64 \cdot 7}{4}$
$a_2^2 = 16 \cdot 7$
$a_2^2 = 112$

Чтобы найти сторону $a_2$, извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как длина стороны не может быть отрицательной, мы рассматриваем только положительный корень.
$a_2 = \sqrt{112}$
Упростим корень, разложив подкоренное выражение на множители: $112 = 16 \cdot 7$.
$a_2 = \sqrt{16 \cdot 7} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{7} = 4\sqrt{7}$ см.

Ответ: $4\sqrt{7}$ см.