Номер 296, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла B в точках F, K, M и N (рис. 54).

$BK : KN = 1 : 2$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой: 1) отрезок FK является образом отрезка MN; 2) отрезок MN является образом отрезка FK.

Рис. 54

296. Параллельные прямые пересекают стороны угла $B$ в точках $F, K, M$ и $N$ (рис. 54).

$BK : KN = 1 : 2$. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой:

1) отрезок $FK$ является образом отрезка $MN$;

2) отрезок $MN$ является образом отрезка $FK$.

Рис. 54

1) Гомотетия — это преобразование подобия, при котором каждая точка $P$ переходит в точку $P'$, так что вектор $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$, где $O$ — центр гомотетии, а $k$ — коэффициент гомотетии. При гомотетии отрезок переходит в параллельный ему отрезок.

В данной задаче прямые, на которых лежат отрезки $FK$ и $MN$, параллельны. Прямые, соединяющие соответственные точки ($F$ и $M$, $K$ и $N$), пересекаются в одной точке, которая является центром гомотетии. Так как точки $F, B, M$ лежат на одной прямой, и точки $K, B, N$ лежат на одной прямой, то центром гомотетии является точка $B$.

В этом пункте отрезок $FK$ является образом отрезка $MN$. Это означает, что точка $F$ — образ точки $M$, а точка $K$ — образ точки $N$. Коэффициент гомотетии $k$ равен отношению расстояния от центра до точки-образа к расстоянию от центра до точки-прообраза. Следовательно, $k = \frac{BK}{BN}$.

По условию $BK : KN = 1 : 2$. Примем длину отрезка $BK$ за $x$, тогда длина отрезка $KN$ будет $2x$. Длина отрезка $BN$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $KN$: $BN = BK + KN = x + 2x = 3x$.

Теперь найдем коэффициент гомотетии: $k = \frac{BK}{BN} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k = \frac{1}{3}$.

2) В этом случае отрезок $MN$ является образом отрезка $FK$. Центр гомотетии остается тот же — точка $B$.

Теперь точка $M$ — образ точки $F$, а точка $N$ — образ точки $K$. Коэффициент гомотетии $k$ будет равен отношению $k = \frac{BN}{BK}$.

Используя те же обозначения, что и в первом пункте ($BK = x$, $BN = 3x$), найдем коэффициент: $k = \frac{BN}{BK} = \frac{3x}{x} = 3$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k = 3$.