Номер 291, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

291. Начертите отрезок CD длиной 4 см и отметьте точку M, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезку CD, с центром гомотетии в точке M и коэффициентом гомотетии:

1) $k = \frac{1}{2}$;

2) $k = -3$.

291. Начертите отрезок CD длиной 4 см и отметьте точку M, не принадлежащую этому отрезку. Постройте отрезок, гомотетичный отрезок CD, с центром гомотетии в точке M и коэффициентом гомотетии:

1) $k = \frac{1}{2}$

2) $k = -3$

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждой точке $P$ сопоставляется точка $P'$, такая что $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$, где $O$ — фиксированная точка (центр гомотетии), а $k$ — заданное число (коэффициент гомотетии), не равное нулю.

Для построения отрезка, гомотетичного отрезку $CD$, достаточно построить образы его концов, точек $C$ и $D$, а затем соединить их. Начертим отрезок $CD$ длиной 4 см и выберем точку $M$, не лежащую на этом отрезке.

1) $k = \frac{1}{2}$

Для построения гомотетичного отрезка $C'D'$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Соединить центр гомотетии $M$ с концами отрезка, точками $C$ и $D$. Получим отрезки $MC$ и $MD$.
2. Поскольку коэффициент $k = \frac{1}{2}$ положителен, образы точек $C'$ и $D'$ будут лежать на лучах $MC$ и $MD$ соответственно.
3. Найти точку $C'$, образ точки $C$. По определению гомотетии, $\vec{MC'} = k \cdot \vec{MC}$, то есть $\vec{MC'} = \frac{1}{2}\vec{MC}$. Это значит, что точка $C'$ является серединой отрезка $MC$. Ее можно построить с помощью циркуля и линейки, найдя середину отрезка $MC$.
4. Аналогично найти точку $D'$, образ точки $D$. Вектор $\vec{MD'} = \frac{1}{2}\vec{MD}$. Точка $D'$ является серединой отрезка $MD$.
5. Соединить точки $C'$ и $D'$. Полученный отрезок $C'D'$ и будет искомым.

Отрезок $C'D'$ будет параллелен отрезку $CD$, а его длина будет равна $|k| \cdot |CD| = \frac{1}{2} \cdot 4 \text{ см} = 2 \text{ см}$.

Ответ: Искомый отрезок $C'D'$, где $C'$ — середина отрезка $MC$, а $D'$ — середина отрезка $MD$.

2) $k = -3$

Для построения гомотетичного отрезка $C''D''$ с центром в точке $M$ и коэффициентом $k = -3$ необходимо выполнить следующие шаги:

1. Провести прямые через центр гомотетии $M$ и концы отрезка, точки $C$ и $D$.
2. Поскольку коэффициент $k = -3$ отрицателен, образы точек $C''$ и $D''$ будут лежать на продолжениях отрезков $CM$ и $DM$ за точку $M$ соответственно.
3. Найти точку $C''$, образ точки $C$. По определению гомотетии, $\vec{MC''} = k \cdot \vec{MC}$, то есть $\vec{MC''} = -3\vec{MC}$. Это значит, что точка $C''$ лежит на прямой $MC$ по другую сторону от $M$, а расстояние от $M$ до $C''$ в три раза больше расстояния от $M$ до $C$ ($|MC''| = 3|MC|$). Для построения нужно отложить от точки $M$ на луче, противоположном лучу $MC$, три отрезка, равных $MC$.
4. Аналогично найти точку $D''$, образ точки $D$. Вектор $\vec{MD''} = -3\vec{MD}$. Точка $D''$ лежит на прямой $MD$ по другую сторону от $M$, и $|MD''| = 3|MD|$.
5. Соединить точки $C''$ и $D''$. Полученный отрезок $C''D''$ и будет искомым.

Отрезок $C''D''$ будет параллелен отрезку $CD$, а его длина будет равна $|k| \cdot |CD| = |-3| \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: Искомый отрезок $C''D''$, где точка $C''$ лежит на прямой $MC$ так, что $M$ находится между $C$ и $C''$ и $|MC''| = 3|MC|$, а точка $D''$ лежит на прямой $MD$ так, что $M$ находится между $D$ и $D''$ и $|MD''| = 3|MD|$.