Номер 288, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

288. Постройте точки, являющиеся образами точек $A (2; -1)$, $B (-3; 2)$, $D (0; -3)$, $E (6; 0)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

288. Постройте точки, являющиеся образами точек $A (2; -1)$, $B (-3; 2)$, $D (0; -3)$, $E (6; 0)$ при повороте на угол $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг начала координат. Укажите координаты полученных точек.

При повороте точки с координатами $(x; y)$ на угол $90°$ против часовой стрелки вокруг начала координат, ее образ, точка с координатами $(x'; y')$, вычисляется по формулам:
$x' = x \cos(90°) - y \sin(90°) = x \cdot 0 - y \cdot 1 = -y$
$y' = x \sin(90°) + y \cos(90°) = x \cdot 1 + y \cdot 0 = x$
Таким образом, преобразование имеет вид $(x; y) \rightarrow (-y; x)$. Применим эту формулу для каждой из заданных точек.

Для точки A (2; -1)
Обозначим образ точки $A$ как $A'$. Исходные координаты: $x = 2$, $y = -1$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -(-1) = 1$
$y' = x = 2$
Следовательно, координаты образа точки $A$ — $A'(1; 2)$.
Ответ: $A'(1; 2)$.

Для точки B (-3; 2)
Обозначим образ точки $B$ как $B'$. Исходные координаты: $x = -3$, $y = 2$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -2$
$y' = x = -3$
Следовательно, координаты образа точки $B$ — $B'(-2; -3)$.
Ответ: $B'(-2; -3)$.

Для точки D (0; -3)
Обозначим образ точки $D$ как $D'$. Исходные координаты: $x = 0$, $y = -3$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -(-3) = 3$
$y' = x = 0$
Следовательно, координаты образа точки $D$ — $D'(3; 0)$.
Ответ: $D'(3; 0)$.

Для точки E (6; 0)
Обозначим образ точки $E$ как $E'$. Исходные координаты: $x = 6$, $y = 0$.
Новые координаты $(x'; y')$ будут:
$x' = -y = -0 = 0$
$y' = x = 6$
Следовательно, координаты образа точки $E$ — $E'(0; 6)$.
Ответ: $E'(0; 6)$.

Построение точек:
Для построения необходимо начертить систему координат и отметить на ней исходные точки $A(2; -1)$, $B(-3; 2)$, $D(0; -3)$, $E(6; 0)$ и их образы $A'(1; 2)$, $B'(-2; -3)$, $D'(3; 0)$, $E'(0; 6)$, полученные в результате поворота.