Номер 286, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

286. Точка $O$ — центр правильного треугольника $\triangle ABC$ (рис. 53). Укажите образы точек $A$, $M$, $O$, стороны $AC$, отрезка $OK$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $120^\circ$.

Рис. 53

286. Точка $O$ — центр правильного треугольника $ABC$ (рис. 53). Укажите образы точек $A$, $M$, $O$, стороны $AC$, отрезка $OK$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $120^\circ$.

Рис. 53

Поскольку треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним), его центр $O$ — это точка пересечения медиан, биссектрис и высот. Эта точка также является центром вписанной и описанной окружностей. Следовательно, расстояния от центра до вершин равны: $OA = OB = OC$. Углы между отрезками, соединяющими центр с вершинами, также равны: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = 360^\circ / 3 = 120^\circ$. Поворот по часовой стрелке вокруг центра $O$ на $120^\circ$ будет отображать вершины следующим образом: $A \to C$, $C \to B$, $B \to A$. Точки $K, M, D$ являются серединами сторон $AB, BC, AC$ соответственно.

При повороте точки $A$ вокруг центра $O$ на угол $120^\circ$ по часовой стрелке она перейдет в такую точку $A'$, что $OA' = OA$ и угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OA'}$ составляет $120^\circ$ по часовой стрелке. В треугольнике $ABC$ этим условиям удовлетворяет точка $C$, так как $OC = OA$ и $\angle AOC = 120^\circ$.

Ответ: точка $C$.

Точка $M$ является серединой стороны $BC$. Чтобы найти образ точки $M$, найдем образы конечных точек отрезка $BC$ при заданном повороте. Вершина $B$ переходит в вершину $A$, а вершина $C$ переходит в вершину $B$. Следовательно, сторона $BC$ переходит в сторону $AB$. Поскольку поворот является движением (изометрией), он сохраняет середины отрезков. Это означает, что середина стороны $BC$ (точка $M$) перейдет в середину стороны $AB$. Серединой стороны $AB$ является точка $K$.

Ответ: точка $K$.

Точка $O$ является центром поворота. По определению, центр поворота является неподвижной точкой, то есть при повороте она отображается сама на себя.

Ответ: точка $O$.

Образ отрезка определяется образами его концов. При повороте на $120^\circ$ по часовой стрелке вокруг точки $O$ точка $A$ переходит в точку $C$, а точка $C$ переходит в точку $B$. Таким образом, сторона $AC$ переходит в сторону $CB$.

Ответ: сторона $CB$.

Чтобы найти образ отрезка $OK$, найдем образы его конечных точек $O$ и $K$. Образом точки $O$ является сама точка $O$. Точка $K$ является серединой стороны $AB$. Найдем образ стороны $AB$. Образом точки $A$ является точка $C$, а образом точки $B$ является точка $A$. Следовательно, сторона $AB$ переходит в сторону $CA$. Так как поворот сохраняет середины отрезков, середина $AB$ (точка $K$) переходит в середину $CA$. Серединой стороны $AC$ (или $CA$) является точка $D$. Таким образом, точка $K$ переходит в точку $D$, а отрезок $OK$ переходит в отрезок $OD$.

Ответ: отрезок $OD$.