Номер 293, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

293. Постройте прямоугольник, гомотетичный данному прямоугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -1,5$.

293. Постройте прямоугольник, гомотетичный данному прямоугольнику, с центром гомотетии в точке пересечения его диагоналей и коэффициентом гомотетии:

1) $k = 3$;

2) $k = -1,5$.

Гомотетия — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в точку $M'$ такую, что вектор $\vec{OM'}$ равен вектору $\vec{OM}$, умноженному на некоторое число $k$, называемое коэффициентом гомотетии. То есть, $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$. Точка $O$ называется центром гомотетии.

Для построения прямоугольника, гомотетичного данному, необходимо выполнить гомотетичное преобразование для каждой его вершины.

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. Центр гомотетии $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$.

Поскольку коэффициент гомотетии $k = 3$ положителен, то каждая вершина искомого прямоугольника будет лежать на луче, исходящем из центра гомотетии $O$ и проходящем через соответствующую вершину исходного прямоугольника.

Алгоритм построения:
1. Строим данный прямоугольник $ABCD$.
2. Проводим его диагонали $AC$ и $BD$. Точку их пересечения обозначаем как $O$. Это центр гомотетии.
3. Для каждой вершины (например, для $A$) проводим луч $OA$.
4. На луче $OA$ откладываем отрезок $OA'$, длина которого в 3 раза больше длины отрезка $OA$, то есть $OA' = 3 \cdot OA$. Точка $A'$ — это образ точки $A$.
5. Аналогично строим образы остальных вершин:

• На луче $OB$ откладываем отрезок $OB' = 3 \cdot OB$.
• На луче $OC$ откладываем отрезок $OC' = 3 \cdot OC$.
• На луче $OD$ откладываем отрезок $OD' = 3 \cdot OD$.

6. Последовательно соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ и $D'$. Полученный прямоугольник $A'B'C'D'$ и будет искомым. Его стороны будут параллельны сторонам исходного прямоугольника, а их длины будут в 3 раза больше.

Ответ: Прямоугольник $A'B'C'D'$ построен согласно описанному алгоритму.

Поскольку коэффициент гомотетии $k = -1,5$ отрицателен, то каждая вершина искомого прямоугольника будет лежать на луче, дополнительном к лучу, исходящему из центра гомотетии $O$ и проходящему через соответствующую вершину исходного прямоугольника. Другими словами, образ точки $A$ будет лежать на прямой $OA$ по другую сторону от центра $O$.

Алгоритм построения:
1. Строим данный прямоугольник $ABCD$ и находим центр гомотетии $O$ как точку пересечения его диагоналей.
2. Для каждой вершины (например, для $A$) проводим прямую через точки $O$ и $A$.
3. На прямой $OA$, на луче, противоположном лучу $OA$, откладываем отрезок $OA'$, длина которого в $1,5$ раза больше длины отрезка $OA$, то есть $OA' = |-1,5| \cdot OA = 1,5 \cdot OA$. Точка $A'$ — это образ точки $A$.
4. Аналогично строим образы остальных вершин:

• На луче, противоположном лучу $OB$, откладываем отрезок $OB' = 1,5 \cdot OB$.
• На луче, противоположном лучу $OC$, откладываем отрезок $OC' = 1,5 \cdot OC$.
• На луче, противоположном лучу $OD$, откладываем отрезок $OD' = 1,5 \cdot OD$.

5. Последовательно соединяем точки $A'$, $B'$, $C'$ и $D'$. Полученный прямоугольник $A'B'C'D'$ и будет искомым. Его стороны будут параллельны сторонам исходного прямоугольника, их длины будут в 1,5 раза больше, а сам прямоугольник будет повернут на 180° относительно центра $O$.

Ответ: Прямоугольник $A'B'C'D'$ построен согласно описанному алгоритму.