Номер 292, страница 66 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

292. Начертите острый угол и отметьте точку $F$, лежащую на одной из сторон этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $F$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

292. Начертите острый угол и отметьте точку $F$, лежащую на одной из сторон этого угла. Постройте угол, гомотетичный данному, с центром гомотетии в точке $F$ и коэффициентом гомотетии $k = 2$.

Для решения задачи необходимо выполнить последовательность геометрических построений, используя циркуль и линейку.

План построения:

1. Начертить острый угол. Обозначим его вершину буквой A, а стороны — лучами $l_1$ и $l_2$.
2. На одной из сторон, например на луче $l_1$, отметить точку F, которая будет центром гомотетии.
3. Построить образ вершины A — точку A'. Так как центр гомотетии F лежит на прямой, содержащей вершину A, точка A' также будет лежать на этой прямой. Векторное равенство для гомотетии $\vec{FA'} = k \cdot \vec{FA}$, при $k=2$ означает, что $\vec{FA'} = 2 \cdot \vec{FA}$. Это значит, что точка A' лежит на продолжении отрезка FA за точку A, и расстояние $FA' = 2 \cdot FA$. Для построения нужно отложить от точки A отрезок AA', равный отрезку FA, на луче, продолжающем FA.
4. Построить образ стороны $l_1$. Прямая, содержащая луч $l_1$, проходит через центр гомотетии F, поэтому при гомотетии она отображается сама на себя. Так как вершина A переходит в A', то образ луча $l_1$ — это луч $l'_1$, который начинается в точке A' и совпадает с лучом A'A.
5. Построить образ стороны $l_2$. По свойству гомотетии, образом луча $l_2$ будет луч $l'_2$, выходящий из точки A' и параллельный лучу $l_2$. Чтобы построить луч $l'_2$, нужно через точку A' провести прямую, параллельную прямой, содержащей луч $l_2$. Это можно сделать, построив угол при вершине A', равный исходному углу, одной из сторон которого будет луч $l'_1$.
   • С помощью циркуля скопировать угол с вершиной A и перенести его в вершину A'.
   • Поставить острие циркуля в точку A и провести дугу, пересекающую стороны $l_1$ и $l_2$ в точках P и Q соответственно.
   • Не меняя раствора циркуля, поставить острие в точку A' и провести такую же дугу, которая пересечет луч $l'_1$ в точке P'.
   • Измерить циркулем расстояние PQ.
   • Поставить острие циркуля в точку P' и провести дугу радиусом PQ так, чтобы она пересекла дугу, построенную на предыдущем шаге. Точку пересечения обозначим Q'.
   • Провести луч A'Q'. Этот луч $l'_2$ будет параллелен лучу $l_2$.
6. Угол, образованный лучами $l'_1$ и $l'_2$ с вершиной в точке A', является искомым углом.

Ответ: Искомый угол построен согласно вышеописанному алгоритму. В результате гомотетии с центром F на стороне угла и коэффициентом $k=2$ получается угол, равный по величине исходному. Его вершина A' смещена относительно исходной вершины A вдоль прямой, на которой они обе лежат, так что $FA' = 2 \cdot FA$. Сторона угла, на которой лежал центр гомотетии F, переходит в сторону, лежащую на той же прямой. Вторая сторона полученного угла параллельна второй стороне исходного угла.