Номер 285, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

285. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 52). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Рис. 52

285. Даны отрезок $AB$ и точка $O$ (рис. 52). Постройте образ отрезка $AB$ при повороте на угол $60^\circ$ вокруг центра $O$ против часовой стрелки.

Рис. 52

Для того чтобы построить образ отрезка AB при повороте на 60° против часовой стрелки вокруг центра O, необходимо выполнить поворот его конечных точек, A и B, а затем соединить полученные образы A' и B'. Решение состоит из двух частей: геометрического построения и аналитического расчета для нахождения точных координат.

Этот метод описывает последовательность действий с использованием циркуля, линейки и транспортира для построения искомого отрезка.

1. Построение точки A' (образа точки A)

   Соедините центр вращения O с точкой A отрезком OA. От луча OA отложите с помощью транспортира угол, равный 60°, в направлении против часовой стрелки. На полученном новом луче отложите с помощью циркуля отрезок OA', равный по длине отрезку OA. Полученная точка A' является образом точки A.

2. Построение точки B' (образа точки B)

   Выполните аналогичные действия для точки B. Соедините O и B. От луча OB отложите угол 60° против часовой стрелки. На новом луче отложите отрезок OB', равный по длине отрезку OB. Точка B' — это образ точки B.

3. Построение отрезка A'B'

   Соедините точки A' и B' прямой линией. Отрезок A'B' является искомым образом отрезка AB при заданном повороте.

Чтобы найти точное положение точек A' и B', введем декартову систему координат.

• Примем точку O за начало координат $(0, 0)$, а сторону одной клетки сетки за единицу длины. Исходя из рисунка, определим координаты точек A и B:
  • $A(-2, 2)$
  • $B(-3, -1)$
• Воспользуемся формулами поворота точки $(x, y)$ на угол $\alpha$ против часовой стрелки вокруг начала координат:

  $x' = x \cos(\alpha) - y \sin(\alpha)$
  $y' = x \sin(\alpha) + y \cos(\alpha)$

• Для угла поворота $\alpha = 60°$ значения синуса и косинуса равны:

  $\cos(60°) = \frac{1}{2}$
  $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

• Вычислим координаты точки A':

  $x_{A'} = (-2) \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = -1 - \sqrt{3}$
  $y_{A'} = (-2) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \sqrt{3}$

  Таким образом, координаты точки $A'$ равны $(-1 - \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3})$.

• Вычислим координаты точки B':

  $x_{B'} = (-3) \cdot \frac{1}{2} - (-1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-3+\sqrt{3}}{2}$
  $y_{B'} = (-3) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + (-1) \cdot \frac{1}{2} = \frac{-3\sqrt{3}-1}{2}$

  Таким образом, координаты точки $B'$ равны $(\frac{\sqrt{3}-3}{2}; -\frac{3\sqrt{3}+1}{2})$.

Ответ: Искомый образ — это отрезок A'B', соединяющий точки $A'(-1 - \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3})$ и $B'(\frac{\sqrt{3}-3}{2}; -\frac{3\sqrt{3}+1}{2})$.