Номер 283, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Центральная симметрия. Поворот. Вариант 2. Упражнения - номер 283, страница 65.

Условие 2017.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x - 4y = 9$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (-1; -2)$.

Условие 2021.

283. Запишите уравнение прямой, симметричной прямой $3x - 4y = 9$ относительно:

1) начала координат;

2) точки M $(-1; -2)$.

Решение.

Решение 2 (2021).

Чтобы найти уравнение прямой, симметричной данной прямой относительно точки, можно воспользоваться тем фактом, что искомая прямая будет параллельна исходной. Исходная прямая $L_1$ задана уравнением $3x - 4y = 9$. Любая прямая, параллельная ей, будет иметь уравнение вида $3x - 4y = C$, где $C$ — некоторая константа. Наша задача — найти значение $C$ для каждого случая.

1) начала координат

Найдем уравнение прямой $L_2$, симметричной прямой $L_1$ относительно начала координат $O(0; 0)$.

1. Выберем произвольную точку на исходной прямой $L_1$. Пусть $x = 3$. Подставим это значение в уравнение:

$3(3) - 4y = 9$

$9 - 4y = 9$

$-4y = 0$, следовательно, $y = 0$.

Таким образом, точка $P_1(3; 0)$ лежит на прямой $L_1$.

2. Найдем точку $P_2(x_2, y_2)$, симметричную точке $P_1(3; 0)$ относительно начала координат. Координаты точки, симметричной относительно начала координат, имеют противоположные знаки:

$x_2 = -x_1 = -3$

$y_2 = -y_1 = -0 = 0$

Следовательно, симметричная точка — $P_2(-3; 0)$.

3. Эта точка $P_2(-3; 0)$ должна принадлежать искомой прямой $L_2$. Подставим ее координаты в уравнение $3x - 4y = C$:

$3(-3) - 4(0) = C$

$-9 - 0 = C$

$C = -9$

Итак, уравнение прямой, симметричной данной относительно начала координат, есть $3x - 4y = -9$.

Ответ: $3x - 4y = -9$

2) точки M (–1; –2)

Найдем уравнение прямой $L_3$, симметричной прямой $L_1$ относительно точки $M(-1; -2)$. Уравнение искомой прямой также будет иметь вид $3x - 4y = D$.

1. Используем ту же точку $P_1(3; 0)$, лежащую на исходной прямой $L_1$.

2. Найдем точку $P_3(x_3, y_3)$, симметричную точке $P_1(3; 0)$ относительно точки $M(-1; -2)$. Точка $M$ является серединой отрезка $P_1P_3$. Используем формулы координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_1 + x_3}{2} \implies -1 = \frac{3 + x_3}{2}$

$-2 = 3 + x_3 \implies x_3 = -5$

$y_M = \frac{y_1 + y_3}{2} \implies -2 = \frac{0 + y_3}{2}$

$-4 = 0 + y_3 \implies y_3 = -4$

Следовательно, симметричная точка — $P_3(-5; -4)$.

3. Эта точка $P_3(-5; -4)$ должна принадлежать искомой прямой $L_3$. Подставим ее координаты в уравнение $3x - 4y = D$:

$3(-5) - 4(-4) = D$

$-15 + 16 = D$

$D = 1$

Итак, уравнение прямой, симметричной данной относительно точки $M(-1; -2)$, есть $3x - 4y = 1$.

Ответ: $3x - 4y = 1$