Номер 281, страница 65 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окружности $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (0; 3)$.

281. Запишите уравнение окружности, симметричной окруж-ности $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 7$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (0; 3)$.

Исходное уравнение окружности: $(x-2)^2 + (y+3)^2 = 7$.

Это уравнение окружности в каноническом виде $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ - координаты центра, а $R$ - радиус.

Следовательно, центр данной окружности — точка C с координатами $(2; -3)$, а квадрат ее радиуса $R^2 = 7$.

При симметричном отображении окружности относительно точки ее радиус не изменяется, изменяется только положение ее центра. Новый центр будет симметричен исходному центру относительно заданной точки. Таким образом, искомая окружность будет иметь тот же радиус, то есть $R^2 = 7$. Наша задача — найти координаты нового центра C' в каждом из случаев.

1) начала координат

Найдем координаты центра C' $(x'; y')$, симметричного центру C $(2; -3)$ относительно начала координат O $(0; 0)$. Точка O является серединой отрезка CC'. Воспользуемся формулами для нахождения координат середины отрезка:

$x_O = \frac{x_C + x'}{2}$ и $y_O = \frac{y_C + y'}{2}$

Подставим известные значения координат точек C и O:

$0 = \frac{2 + x'}{2} \Rightarrow 2 + x' = 0 \Rightarrow x' = -2$

$0 = \frac{-3 + y'}{2} \Rightarrow -3 + y' = 0 \Rightarrow y' = 3$

Таким образом, новый центр C' имеет координаты $(-2; 3)$.

Теперь запишем уравнение окружности с центром в точке C' $(-2; 3)$ и квадратом радиуса $R^2 = 7$:

$(x - (-2))^2 + (y - 3)^2 = 7$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 7$

Ответ: $(x+2)^2 + (y-3)^2 = 7$

2) точки M (0; 3)

Найдем координаты центра C' $(x'; y')$, симметричного центру C $(2; -3)$ относительно точки M $(0; 3)$. Точка M является серединой отрезка CC'. Воспользуемся теми же формулами для координат середины отрезка:

$x_M = \frac{x_C + x'}{2}$ и $y_M = \frac{y_C + y'}{2}$

Подставим известные значения координат точек C и M:

$0 = \frac{2 + x'}{2} \Rightarrow 2 + x' = 0 \Rightarrow x' = -2$

$3 = \frac{-3 + y'}{2} \Rightarrow 6 = -3 + y' \Rightarrow y' = 9$

Таким образом, новый центр C' имеет координаты $(-2; 9)$.

Теперь запишем уравнение окружности с центром в точке C' $(-2; 9)$ и квадратом радиуса $R^2 = 7$:

$(x - (-2))^2 + (y - 9)^2 = 7$

$(x + 2)^2 + (y - 9)^2 = 7$

Ответ: $(x+2)^2 + (y-9)^2 = 7$