Номер 274, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

274. Может ли образом луча при центральной симметрии быть этот же луч?

274. Может ли образом луча при центральной симметрии быть этот же луч?

Нет, образом луча при центральной симметрии не может быть этот же луч.

Для того чтобы доказать это, рассмотрим свойства центральной симметрии и определение луча. Центральная симметрия относительно точки $O$ (центра симметрии) переводит каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что $O$ является серединой отрезка $MM'$. Это эквивалентно векторному равенству $\vec{OM'} = -\vec{OM}$.

Луч определяется двумя характеристиками: своим началом и своим направлением. Чтобы образ луча при преобразовании совпал с исходным лучом, он должен иметь то же начало и то же направление.

Пусть у нас есть луч $r$ с началом в точке $A$. Его образ при симметрии относительно центра $O$ — это луч $r'$, начало которого находится в точке $A'$, симметричной точке $A$. Для совпадения начал лучей $r$ и $r'$ требуется, чтобы $A=A'$. Это условие выполняется только тогда, когда точка $A$ сама является центром симметрии, то есть $A=O$. Следовательно, если луч и его образ совпадают, то этот луч должен выходить из центра симметрии.

Теперь рассмотрим луч $r$, выходящий из центра симметрии $O$. Возьмем на нем произвольную точку $B$, отличную от $O$. Образ этого луча, $r'$, также будет выходить из точки $O$, поскольку образ точки $O$ — это она сама. Направление луча $r'$ будет определяться образом точки $B$, то есть точкой $B'$. По определению центральной симметрии, точка $B'$ такова, что $\vec{OB'} = -\vec{OB}$. Это означает, что луч $r'$ направлен в сторону, ровно противоположную направлению луча $r$. Два луча, выходящие из одной точки в противоположных направлениях, различны.

Таким образом, образ луча при центральной симметрии всегда имеет направление, противоположное направлению исходного луча. Поэтому он не может совпадать с исходным лучом.

Ответ: Нет, не может.