Номер 269, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-3; 5)$.

269. Диагонали ромба лежат на координатных осях. Найдите координаты вершин ромба, если середина одной из его сторон имеет координаты $(-3; 5)$.

Поскольку диагонали ромба лежат на координатных осях, то точка их пересечения — это начало координат (0; 0). Вершины ромба также лежат на координатных осях. Обозначим вершины ромба как A, B, C, D.

Пусть вершины имеют следующие координаты: $A(0; b)$, $B(-a; 0)$, $C(0; -b)$, $D(a; 0)$, где $a > 0$ и $b > 0$ — это длины полудиагоналей ромба.

Стороны ромба — это отрезки AB, BC, CD и DA. Найдем координаты середин этих сторон по формуле середины отрезка: $M(\frac{x_1+x_2}{2}; \frac{y_1+y_2}{2})$.

• Середина AB: $(\frac{0+(-a)}{2}; \frac{b+0}{2}) = (-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$
• Середина BC: $(\frac{-a+0}{2}; \frac{0+(-b)}{2}) = (-\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$
• Середина CD: $(\frac{0+a}{2}; \frac{-b+0}{2}) = (\frac{a}{2}; -\frac{b}{2})$
• Середина DA: $(\frac{a+0}{2}; \frac{0+b}{2}) = (\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$

По условию, середина одной из сторон имеет координаты (-3; 5). Эта точка находится во второй координатной четверти (x < 0, y > 0). Из найденных координат середин сторон только середина стороны AB $(-\frac{a}{2}; \frac{b}{2})$ может находиться в этой четверти, так как мы приняли $a > 0$ и $b > 0$.

Приравняем координаты середины стороны AB к заданным координатам:

$-\frac{a}{2} = -3$

$\frac{b}{2} = 5$

Решая эти уравнения, находим значения $a$ и $b$:

$a = 3 \cdot 2 = 6$

$b = 5 \cdot 2 = 10$

Теперь, зная значения $a$ и $b$, можем найти координаты всех вершин ромба:

$A(0; b) = (0; 10)$

$B(-a; 0) = (-6; 0)$

$C(0; -b) = (0; -10)$

$D(a; 0) = (6; 0)$

Ответ: Координаты вершин ромба: (0; 10), (-6; 0), (0; -10), (6; 0).