Номер 263, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

263. Докажите, что если прямая, проходящая через середины противоположных сторон параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — прямоугольник.

263. Докажите, что если прямая, проходящая через середины противоположных сторон параллелограмма, является его осью симметрии, то этот параллелограмм — прямоугольник.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Пусть прямая $l$, проходящая через середины противоположных сторон, является его осью симметрии. Для определенности, предположим, что прямая $l$ проходит через середины сторон $AB$ и $CD$. Обозначим эти середины как точки $M$ и $N$ соответственно. Таким образом, прямая $MN$ — ось симметрии параллелограмма $ABCD$.

По определению осевой симметрии, отражение относительно прямой $MN$ переводит фигуру в себя. Рассмотрим, куда переходят вершины параллелограмма при этой симметрии. Поскольку точка $M$ лежит на оси симметрии и является серединой отрезка $AB$, то вершина $A$ симметрична вершине $B$ относительно прямой $MN$. Аналогично, так как точка $N$ лежит на оси симметрии и является серединой отрезка $CD$, вершина $D$ симметрична вершине $C$.

Осевая симметрия является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния и углы. При симметрии относительно прямой $MN$ вершина $D$ переходит в $C$, вершина $A$ — в $B$, а вершина $B$ — в $A$. Следовательно, угол $\angle DAB$ отображается на угол $\angle CBA$. Равенство фигур (углов) при движении означает равенство их мер. Таким образом, мы получаем равенство величин этих углов: $\angle DAB = \angle CBA$.

В то же время, в параллелограмме $ABCD$ стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а $AB$ является секущей. Углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$ являются внутренними односторонними углами, и их сумма равна $180^\circ$: $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$.

Из этих двух равенств следует, что: $\angle DAB + \angle DAB = 180^\circ$, откуда $2 \cdot \angle DAB = 180^\circ$, и $\angle DAB = 90^\circ$.

Параллелограмм, у которого один из углов прямой, является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

Если бы ось симметрии проходила через середины сторон $BC$ и $AD$, доказательство было бы аналогичным и привело бы к выводу, что $\angle ABC = 90^\circ$, что также означает, что параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Что и требовалось доказать.