Номер 259, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 2,5 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

259. Начертите равносторонний треугольник со стороной 2,5 см, проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек. Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой.

Для решения данной задачи необходимо выполнить последовательные геометрические построения с помощью циркуля и линейки.

Начертите равносторонний треугольник со стороной 2,5 см

1. С помощью линейки начертим отрезок $AB$ длиной 2,5 см.
2. Установим раствор циркуля равным длине отрезка $AB$ (2,5 см). Проведем дугу окружности с центром в точке $A$.
3. Не меняя раствора циркуля, проведем дугу окружности с центром в точке $B$.
4. Точку пересечения двух дуг обозначим как $C$.
5. Соединим отрезками точки $A$ и $C$, а также $B$ и $C$.
Полученный треугольник $\triangle ABC$ является равносторонним, так как по построению все его стороны равны 2,5 см: $AB = AC = BC = 2.5$ см.

Проведите прямую, проходящую через одну из его вершин и не имеющую с треугольником других общих точек

Выберем одну из вершин, например, вершину $A$. Через точку $A$ необходимо провести прямую $l$ таким образом, чтобы она не имела с треугольником $\triangle ABC$ других общих точек, кроме самой точки $A$. Это означает, что прямая $l$ не должна пересекать сторону $BC$ и не должна совпадать со сторонами $AB$ или $AC$. Весь треугольник должен лежать по одну сторону от прямой $l$. Проведем такую прямую $l$ через точку $A$. Эта прямая будет служить осью симметрии.

Постройте треугольник, симметричный данному относительно этой прямой

Построим треугольник $\triangle A'B'C'$, симметричный треугольнику $\triangle ABC$ относительно прямой $l$.
1. Для этого найдем точки $A'$, $B'$, $C'$, симметричные вершинам $A, B, C$ соответственно.
2. Поскольку вершина $A$ лежит на оси симметрии $l$, она отображается сама в себя, то есть $A' = A$.
3. Для построения точки $B'$, симметричной точке $B$, опустим из точки $B$ перпендикуляр на прямую $l$. Обозначим точку их пересечения (основание перпендикуляра) как $H_B$. На продолжении отрезка $BH_B$ за точку $H_B$ отложим отрезок $H_B B'$, равный по длине отрезку $BH_B$. Точка $B'$ и будет симметрична точке $B$.
4. Аналогично построим точку $C'$, симметричную точке $C$. Опустим перпендикуляр из $C$ на прямую $l$, получив точку $H_C$, и на его продолжении отложим отрезок $H_C C' = CH_C$.
5. Соединим точки $A'$, $B'$ и $C'$ (то есть $A$, $B'$ и $C'$) отрезками.
Полученный треугольник $\triangle AB'C'$ — искомый.

Ответ: В результате построений получен треугольник $\triangle AB'C'$, симметричный исходному треугольнику $\triangle ABC$ относительно прямой $l$. Так как осевая симметрия является движением и сохраняет расстояния между точками, треугольник $\triangle AB'C'$ также является равносторонним со стороной 2,5 см. Оба треугольника имеют общую вершину $A$, которая лежит на оси симметрии.