Номер 261, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$?

261. В каком случае прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$?

Прямая $m$ является осью симметрии для прямой $AB$, если при симметричном отражении относительно прямой $m$ прямая $AB$ переходит сама в себя. Это означает, что для любой точки $P$, принадлежащей прямой $AB$, ее симметричная точка $P'$ относительно прямой $m$ также должна принадлежать прямой $AB$.

Рассмотрим два случая, которые удовлетворяют этому условию.

Первый случай: прямая $m$ совпадает с прямой $AB$. В этом случае каждая точка прямой $AB$ при симметрии относительно самой себя остается на месте. Следовательно, вся прямая $AB$ отображается на саму себя, и $m$ является осью симметрии.

Второй случай: прямая $m$ перпендикулярна прямой $AB$ ($m \perp AB$). Пусть прямые пересекаются. Возьмем любую точку $P$ на прямой $AB$. Точка $P'$, симметричная точке $P$ относительно прямой $m$, лежит на перпендикуляре к $m$, проведенном из точки $P$. Поскольку прямая $AB$ по условию сама перпендикулярна прямой $m$, то точка $P'$ также будет лежать на прямой $AB$. Так как это верно для любой точки прямой $AB$, вся прямая при отражении переходит в себя. Следовательно, любая прямая, перпендикулярная $AB$, является ее осью симметрии.

Если же прямая $m$ пересекает прямую $AB$ под углом, отличным от прямого, или параллельна ей (не совпадая с ней), то при отражении прямая $AB$ перейдет в другую прямую, не совпадающую с исходной.

Ответ: Прямая $m$ является осью симметрии прямой $AB$ в том случае, если прямая $m$ совпадает с прямой $AB$ или если прямая $m$ перпендикулярна прямой $AB$.