Номер 268, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = -2$ и $x = 1$. Одна из его вершин имеет координаты (4; -3). Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

268. Осями симметрии прямоугольника являются прямые $y = -2$ и $x = 1$. Одна из его вершин имеет координаты $(4; -3)$. Найдите координаты остальных вершин прямоугольника.

Оси симметрии прямоугольника проходят через середины его противоположных сторон и пересекаются в его центре. По условию, оси симметрии заданы уравнениями $y = -2$ и $x = 1$. Следовательно, центр симметрии прямоугольника — это точка $O(1; -2)$, в которой пересекаются эти прямые.

Пусть данная вершина прямоугольника — это точка $A(4; -3)$. Остальные три вершины можно найти, используя свойство симметрии относительно осей и центра.

1. Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси симметрии $x = 1$. Обозначим ее $B$. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = c$ координата $y$ точки не меняется, а новая координата $x'$ вычисляется по формуле $x' = 2c - x$.
Для точки $A(4; -3)$ и оси $x = 1$ получаем:$x_B = 2 \cdot 1 - 4 = -2$
$y_B = -3$
Таким образом, координаты вершины $B$ равны $(-2; -3)$.

2. Найдем вершину, симметричную вершине $A$ относительно оси симметрии $y = -2$. Обозначим ее $D$. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = d$ координата $x$ точки не меняется, а новая координата $y'$ вычисляется по формуле $y' = 2d - y$.
Для точки $A(4; -3)$ и оси $y = -2$ получаем:$x_D = 4$
$y_D = 2 \cdot (-2) - (-3) = -4 + 3 = -1$
Таким образом, координаты вершины $D$ равны $(4; -1)$.

3. Четвертая вершина $C$ является противоположной вершине $A$, и она симметрична ей относительно центра $O(1; -2)$. Координаты точки $(x', y')$, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $(x_O, y_O)$, вычисляются по формулам $x' = 2x_O - x$ и $y' = 2y_O - y$.
Для точки $A(4; -3)$ и центра $O(1; -2)$ получаем:$x_C = 2 \cdot 1 - 4 = -2$
$y_C = 2 \cdot (-2) - (-3) = -4 + 3 = -1$
Таким образом, координаты вершины $C$ равны $(-2; -1)$.

Итак, мы нашли координаты трех остальных вершин прямоугольника: $(-2; -3)$, $(4; -1)$ и $(-2; -1)$.

Ответ: $(-2; -3)$, $(4; -1)$, $(-2; -1)$.