Номер 262, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

262. На рисунке 49 $AB = AD$, $BC = CD$. Докажите, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Рис. 49

262. На рисунке 49 $AB = AD$, $BC = CD$. Докажите, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.

Рис. 49

Для доказательства того, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$, необходимо показать, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

Рассмотрим точку $A$. По условию задачи, $AB = AD$. Это означает, что точка $A$ равноудалена от концов отрезка $BD$. Согласно свойству серединного перпендикуляра, любая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Следовательно, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Рассмотрим точку $C$. По условию задачи, $BC = CD$. Это означает, что точка $C$ также равноудалена от концов отрезка $BD$. Следовательно, точка $C$ также лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$.

Поскольку обе точки $A$ и $C$ лежат на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, то прямая, проходящая через эти две точки (прямая $AC$), и является серединным перпендикуляром к отрезку $BD$.

По определению осевой симметрии, если прямая является серединным перпендикуляром к отрезку, то концы этого отрезка (точки $B$ и $D$) симметричны относительно этой прямой ($AC$).
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что точки $B$ и $D$ симметричны относительно прямой $AC$.