Номер 266, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = 3$ и $y = -4$. Двумя его соседними вершинами являются точки $B (3; -1)$ и $C (5; -4)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

266. Осями симметрии ромба являются прямые $x = 3$ и $y = -4$. Двумя его соседними вершинами являются точки $B (3; -1)$ и $C (5; -4)$. Найдите координаты остальных вершин ромба.

Осями симметрии ромба являются его диагонали. Таким образом, диагонали данного ромба лежат на прямых $x = 3$ и $y = -4$. Эти прямые взаимно перпендикулярны, что соответствует свойству диагоналей ромба. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии ромба. Найдем координаты этой точки, решив систему уравнений:

$\begin{cases} x = 3 \\ y = -4 \end{cases}$

Следовательно, центр ромба — это точка $O(3; -4)$.

Пусть вершины ромба обозначаются A, B, C и D. Нам даны две соседние вершины: $B(3; -1)$ и $C(5; -4)$. Найдем координаты двух других вершин, A и D.

Рассмотрим расположение данных вершин относительно осей симметрии:

Точка $B(3; -1)$ имеет абсциссу $x=3$, следовательно, она лежит на оси симметрии (диагонали) $x=3$. Пусть эта диагональ будет BD.

Точка $C(5; -4)$ имеет ординату $y=-4$, следовательно, она лежит на оси симметрии (диагонали) $y=-4$. Пусть эта диагональ будет AC.

Вершины ромба, лежащие на одной диагонали, симметричны относительно другой диагонали. Также можно использовать тот факт, что центр ромба $O$ является серединой каждой диагонали.

Найдем координаты вершины A, которая является противоположной вершине C. Точка O — середина диагонали AC. Пусть координаты вершины A — $(x_A; y_A)$. Тогда:

$x_O = \frac{x_A + x_C}{2} \implies 3 = \frac{x_A + 5}{2} \implies 6 = x_A + 5 \implies x_A = 1$

$y_O = \frac{y_A + y_C}{2} \implies -4 = \frac{y_A + (-4)}{2} \implies -8 = y_A - 4 \implies y_A = -4$

Таким образом, координаты вершины A равны $(1; -4)$.

Теперь найдем координаты вершины D, которая является противоположной вершине B. Точка O — середина диагонали BD. Пусть координаты вершины D — $(x_D; y_D)$. Тогда:

$x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \implies 3 = \frac{3 + x_D}{2} \implies 6 = 3 + x_D \implies x_D = 3$

$y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \implies -4 = \frac{-1 + y_D}{2} \implies -8 = -1 + y_D \implies y_D = -7$

Таким образом, координаты вершины D равны $(3; -7)$.

Итак, остальные вершины ромба — это $A(1; -4)$ и $D(3; -7)$.

Ответ: $(1; -4)$ и $(3; -7)$.