Номер 273, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, принадлежащую лучу $BA$. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

273. Начертите угол $ABC$ и отметьте точку $O$, принадлежащую лучу $BA$. Постройте угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$.

Для того чтобы построить угол, симметричный углу $ABC$ относительно точки $O$, необходимо выполнить построение центрально-симметричных образов для ключевых точек исходного угла. Центральная симметрия относительно точки $O$ переводит любую точку $X$ в точку $X'$ так, что $O$ является серединой отрезка $XX'$.

Построение выполняется по следующему алгоритму:

1. Начальное построение. Начертите произвольный угол $ABC$ с вершиной в точке $B$. Согласно условию, отметьте на луче $BA$ точку $O$, которая будет центром симметрии.

2. Построение симметричной вершины $B'$. Вершина искомого угла будет симметрична вершине $B$. Для её построения проведите прямую через точки $B$ и $O$. С помощью циркуля измерьте расстояние $OB$ и отложите такой же отрезок $OB'$ на этой прямой по другую сторону от точки $O$. Точка $B'$ — вершина нового угла.

3. Построение сторон симметричного угла.

   • Так как центр симметрии $O$ лежит на прямой $BA$, то луч $BA$ при симметрии перейдет в луч, который также лежит на прямой $BA$, но имеет начало в точке $B'$ и противоположное направление.
   • Для построения второй стороны угла выберем на луче $BC$ любую точку, например, саму точку $C$. Построим для неё симметричную точку $C'$. Для этого проведём прямую через $C$ и $O$. Измерим расстояние $OC$ и отложим такой же отрезок $OC'$ на прямой $CO$ по другую сторону от точки $O$.

4. Завершение построения. Проведите луч с началом в точке $B'$ через точку $C'$. Угол, образованный этим лучом и лучом, лежащим на прямой $BA$ с началом в $B'$, является искомым углом. Обозначим его $\angle A'B'C'$, где $A'$ — точка на луче, симметричном лучу $BA$.

В результате центральной симметрии получается угол, равный исходному, то есть $\angle A'B'C' = \angle ABC$.

Для построения искомого угла необходимо построить точку $B'$, симметричную вершине $B$ относительно точки $O$, и точку $C'$, симметричную произвольной точке $C$ на луче $BC$ относительно точки $O$. Точка $B'$ будет новой вершиной, а стороны угла будут образованы лучами, один из которых лежит на прямой $BA$, а другой проходит через точку $C'$.