Номер 267, страница 63 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

267. Найдите координаты точек, симметричных точкам $C (1; -2)$ и $D (0; -1)$ относительно прямой $y = -x$.

267. Найдите координаты точек, симметричных точкам $C(1; -2)$ и $D(0; -1)$ относительно прямой $y = -x$.

Для нахождения координат точки $A'(x', y')$, симметричной точке $A(x_0, y_0)$ относительно некоторой прямой, необходимо, чтобы выполнялись два условия:
1. Отрезок $AA'$ должен быть перпендикулярен этой прямой.
2. Середина отрезка $AA'$ должна лежать на этой прямой.

В данной задаче осью симметрии является прямая $l$, заданная уравнением $y = -x$.
Выведем общие формулы для преобразования координат.

1. Условие перпендикулярности. Угловой коэффициент прямой $y=-x$ равен $k_l = -1$. Прямая, перпендикулярная ей (в данном случае прямая $AA'$), будет иметь угловой коэффициент $k_{AA'} = \frac{-1}{k_l} = \frac{-1}{-1} = 1$.
Уравнение прямой $AA'$, проходящей через точку $A(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом 1, имеет вид: $y - y_0 = 1 \cdot (x - x_0)$, или $y - x = y_0 - x_0$. Так как точка $A'(x', y')$ лежит на этой прямой, ее координаты должны удовлетворять соотношению: $y' - x' = y_0 - x_0$.

2. Условие середины отрезка. Середина отрезка $AA'$, точка $M$, имеет координаты $M\left(\frac{x_0+x'}{2}; \frac{y_0+y'}{2}\right)$. Эта точка должна лежать на прямой $y=-x$. Подставим ее координаты в уравнение прямой:
$\frac{y_0+y'}{2} = -\frac{x_0+x'}{2}$
$y_0+y' = -x_0-x'$
$x' + y' = -x_0 - y_0$.

Таким образом, для нахождения $x'$ и $y'$ мы получили систему из двух линейных уравнений:
$\begin{cases} y' - x' = y_0 - x_0 \\ y' + x' = -y_0 - x_0 \end{cases}$
Сложив два уравнения, получим: $2y' = -2x_0 \implies y' = -x_0$.
Вычтем первое уравнение из второго: $2x' = -2y_0 \implies x' = -y_0$.
Итак, мы получили общие формулы для нахождения координат точки, симметричной точке $(x_0, y_0)$ относительно прямой $y=-x$:
$x' = -y_0$
$y' = -x_0$
То есть, для получения координат симметричной точки нужно поменять исходные координаты местами и взять их с противоположными знаками.

Теперь применим эти формулы к заданным точкам.

Для точки C(1; -2)

Пусть $C'(x', y')$ — точка, симметричная точке $C(1; -2)$.
В данном случае $x_0 = 1, y_0 = -2$.
Используем выведенные формулы:
$x' = -y_0 = -(-2) = 2$
$y' = -x_0 = -(1) = -1$
Следовательно, координаты симметричной точки $C'$ равны $(2; -1)$.
Ответ: $(2; -1)$

Для точки D(0; -1)

Пусть $D'(x', y')$ — точка, симметричная точке $D(0; -1)$.
В данном случае $x_0 = 0, y_0 = -1$.
Используем выведенные формулы:
$x' = -y_0 = -(-1) = 1$
$y' = -x_0 = -(0) = 0$
Следовательно, координаты симметричной точки $D'$ равны $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$