Номер 271, страница 64 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

271. Даны отрезок $CD$ и точка $M$ (рис. 50). Постройте отрезок, симметричный отрезку $CD$ относительно точки $M$.

Рис. 50

271. Даны отрезок $CD$ и точка $M$ (рис. 50). Постройте отрезок, симметричный отрезку $CD$ относительно точки $M$.

Рис. 50

Чтобы построить отрезок, симметричный отрезку $CD$ относительно точки $M$, необходимо построить точки $C'$ и $D'$, симметричные соответственно точкам $C$ и $D$ относительно точки $M$, и затем соединить их отрезком.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра симметрии $M$, если точка $M$ является серединой отрезка $AA'$.

Построение:

1. Построение точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно точки $M$.
Проведём луч из точки $C$ через точку $M$. Отложим на этом луче от точки $M$ отрезок $MC'$, равный по длине отрезку $CM$. Полученная точка $C'$ будет симметрична точке $C$ относительно $M$.
Используя сетку на рисунке, можно определить смещение от точки $C$ до точки $M$. Чтобы попасть из $C$ в $M$, нужно сместиться на 1 клетку вправо и на 1 клетку вверх. Для нахождения точки $C'$ нужно выполнить такое же смещение от точки $M$: сместиться на 1 клетку вправо и на 1 клетку вверх от $M$.

2. Построение точки $D'$, симметричной точке $D$ относительно точки $M$.
Аналогично, проведём луч из точки $D$ через точку $M$. Отложим на этом луче от точки $M$ отрезок $MD'$, равный по длине отрезку $DM$. Полученная точка $D'$ будет симметрична точке $D$ относительно $M$.
Используя сетку, определим смещение от точки $D$ до точки $M$. Чтобы попасть из $D$ в $M$, нужно сместиться на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх. Для нахождения точки $D'$ выполним такое же смещение от точки $M$: сместимся на 2 клетки влево и на 3 клетки вверх от $M$.

3. Построение искомого отрезка $C'D'$.
Соединим полученные точки $C'$ и $D'$ отрезком. Отрезок $C'D'$ является искомым отрезком, симметричным отрезку $CD$ относительно точки $M$.

Для проверки можно использовать координаты. Если принять левый нижний узел сетки на рисунке за начало координат $(0, 0)$, а сторону клетки за единицу длины, то координаты точек будут: $C(1, 3)$, $D(4, 1)$ и $M(2, 4)$.
Координаты $(x', y')$ точки, симметричной точке $(x, y)$ относительно центра $(a, b)$, вычисляются по формулам: $x' = 2a - x$ и $y' = 2b - y$.
Координаты точки $C'$, симметричной $C(1, 3)$:
$x_{C'} = 2 \cdot 2 - 1 = 3$
$y_{C'} = 2 \cdot 4 - 3 = 5$
Таким образом, $C'(3, 5)$.
Координаты точки $D'$, симметричной $D(4, 1)$:
$x_{D'} = 2 \cdot 2 - 4 = 0$
$y_{D'} = 2 \cdot 4 - 1 = 7$
Таким образом, $D'(0, 7)$.
Соединив точки $C'(3, 5)$ и $D'(0, 7)$, получаем искомый отрезок, что соответствует построению.

Ответ: Отрезок $C'D'$, построенный на рисунке красным цветом, является симметричным отрезку $CD$ относительно точки $M$. Его концы — точки $C'$ и $D'$, которые симметричны соответственно точкам $C$ и $D$ относительно точки $M$.