Номер 255, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

255. Прямая $a$ проходит через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$). Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

255. Прямая $a$ проходит через вершину $B$ равнобедренного треугольника $ABC$ ($AB = BC$). Можно ли утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$?

Осью симметрии равнобедренного треугольника $ABC$ с равными сторонами $AB$ и $BC$ является прямая, которая проходит через вершину $B$ (вершину, противолежащую основанию) и является перпендикуляром к основанию $AC$. Эта же прямая является медианой, проведенной к основанию, и биссектрисой угла $\angle ABC$.

В условии задачи дано только то, что прямая $a$ проходит через вершину $B$. Этого условия недостаточно, чтобы утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии. Через одну точку (вершину $B$) можно провести бесконечное множество прямых, и только одна из них будет осью симметрии данного треугольника.

Например, рассмотрим прямую, которая содержит сторону $AB$. Эта прямая проходит через вершину $B$, но не является осью симметрии треугольника $ABC$, так как при симметрии относительно этой прямой вершина $C$ отобразится в точку $C'$, не принадлежащую треугольнику (за исключением вырожденного случая).

Таким образом, для того чтобы прямая $a$ была осью симметрии, она должна не просто проходить через вершину $B$, а занимать совершенно определенное положение — быть перпендикулярной основанию $AC$. Поскольку в условии это не уточнено, в общем случае утверждение неверно.

Ответ: Нет, утверждать, что прямая $a$ является осью симметрии треугольника $ABC$, нельзя. Это будет верно только в том случае, если прямая $a$ пройдет через вершину $B$ и середину основания $AC$.