Номер 251, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

251. Точка $M (-5; 9)$ — середина отрезка $AB$, $A (3; 5)$. При параллельном переносе образом точки $B$ является точка $B_1 (4; -7)$. Найдите образы точек $A$ и $M$ при этом параллельном переносе.

251. Точка $M (-5; 9)$ — середина отрезка $AB$, $A (3; 5)$. При параллельном переносе образом точки $B$ является точка $B_1 (4; -7)$. Найдите образы точек $A$ и $M$ при этом параллельном переносе.

Для решения задачи сначала необходимо найти координаты точки $B$, используя тот факт, что $M$ — середина отрезка $AB$. Затем, зная начальную точку $B$ и ее образ $B_1$, мы можем определить вектор параллельного переноса. Наконец, мы применим этот перенос к точкам $A$ и $M$, чтобы найти их образы.

1. Нахождение координат точки B.

Координаты середины отрезка $M(x_m; y_m)$ с концами в точках $A(x_a; y_a)$ и $B(x_b; y_b)$ вычисляются по формулам:

$x_m = \frac{x_a + x_b}{2}$ и $y_m = \frac{y_a + y_b}{2}$

Подставим известные значения $A(3; 5)$ и $M(-5; 9)$ и найдем координаты точки $B(x_b; y_b)$:

$-5 = \frac{3 + x_b}{2} \Rightarrow -10 = 3 + x_b \Rightarrow x_b = -13$

$9 = \frac{5 + y_b}{2} \Rightarrow 18 = 5 + y_b \Rightarrow y_b = 13$

Следовательно, координаты точки $B$ равны $(-13; 13)$.

2. Нахождение вектора параллельного переноса.

Параллельный перенос, который отображает точку $(x; y)$ в точку $(x'; y')$, задается вектором $\vec{p}(a; b)$, компоненты которого вычисляются как $a = x' - x$ и $b = y' - y$.

По условию, образом точки $B(-13; 13)$ является точка $B_1(4; -7)$. Найдем компоненты вектора переноса:

$a = 4 - (-13) = 17$

$b = -7 - 13 = -20$

Таким образом, вектор параллельного переноса $\vec{p}(17; -20)$.

3. Нахождение образов точек A и M.

Чтобы найти образы точек, нужно к их координатам прибавить соответствующие компоненты вектора переноса.

Образ точки A

Найдем образ точки $A(3; 5)$, обозначив его $A_1(x_{A1}; y_{A1})$.

$x_{A1} = 3 + 17 = 20$

$y_{A1} = 5 + (-20) = -15$

Ответ: образ точки A — это точка $(20; -15)$.

Образ точки M

Найдем образ точки $M(-5; 9)$, обозначив его $M_1(x_{M1}; y_{M1})$.

$x_{M1} = -5 + 17 = 12$

$y_{M1} = 9 + (-20) = -11$

Ответ: образ точки M — это точка $(12; -11)$.