Номер 252, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

252. Точки $B (0; 7)$, $C (4; -2)$ и $D (3; -4)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $C$ является точка $C_1 (-3; 1)$. Найдите образы точек $A$, $B$ и $D$ при таком параллельном переносе.

252. Точки $B (0; 7)$, $C (4; -2)$ и $D (3; -4)$ являются вершинами параллелограмма $ABCD$. При параллельном переносе образом точки $C$ является точка $C_1 (-3; 1)$. Найдите образы точек $A$, $B$ и $D$ при таком параллельном переносе.

Для решения задачи сначала необходимо найти координаты четвертой вершины параллелограмма, точки A, а затем определить вектор параллельного переноса.

1. Нахождение координат вершины A

В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Это означает, что координаты середины отрезка AC равны координатам середины отрезка BD. Пусть координаты точки A равны $(x_A; y_A)$.

Координаты середины диагонали BD:

$x_{сер} = \frac{x_B + x_D}{2} = \frac{0 + 3}{2} = \frac{3}{2}$

$y_{сер} = \frac{y_B + y_D}{2} = \frac{7 + (-4)}{2} = \frac{3}{2}$

Координаты середины диагонали AC:

$x_{сер} = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{x_A + 4}{2}$

$y_{сер} = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{y_A + (-2)}{2} = \frac{y_A - 2}{2}$

Приравнивая координаты середин, получаем систему уравнений:

$\frac{x_A + 4}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow x_A + 4 = 3 \Rightarrow x_A = -1$

$\frac{y_A - 2}{2} = \frac{3}{2} \Rightarrow y_A - 2 = 3 \Rightarrow y_A = 5$

Таким образом, координаты вершины A: $(-1; 5)$.

2. Определение вектора параллельного переноса

Параллельный перенос задается вектором $\vec{v}(a; b)$. Если точка $M(x; y)$ переходит в точку $M_1(x'; y')$, то $x' = x + a$ и $y' = y + b$. Нам известно, что точка $C(4; -2)$ переходит в точку $C_1(-3; 1)$.

Найдем компоненты вектора переноса:

$a = x_{C_1} - x_C = -3 - 4 = -7$

$b = y_{C_1} - y_C = 1 - (-2) = 3$

Следовательно, параллельный перенос задается формулами: $x' = x - 7$, $y' = y + 3$.

3. Нахождение образов точек A, B и D

Теперь применим этот перенос к точкам A, B и D.

Образ точки A

Найдем образ точки $A(-1; 5)$, обозначим его $A_1(x_{A_1}; y_{A_1})$.

$x_{A_1} = x_A - 7 = -1 - 7 = -8$

$y_{A_1} = y_A + 3 = 5 + 3 = 8$

Ответ: $A_1(-8; 8)$

Образ точки B

Найдем образ точки $B(0; 7)$, обозначим его $B_1(x_{B_1}; y_{B_1})$.

$x_{B_1} = x_B - 7 = 0 - 7 = -7$

$y_{B_1} = y_B + 3 = 7 + 3 = 10$

Ответ: $B_1(-7; 10)$

Образ точки D

Найдем образ точки $D(3; -4)$, обозначим его $D_1(x_{D_1}; y_{D_1})$.

$x_{D_1} = x_D - 7 = 3 - 7 = -4$

$y_{D_1} = y_D + 3 = -4 + 3 = -1$

Ответ: $D_1(-4; -1)$