Номер 253, страница 62 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x+3)^2+(y-4)^2=11$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-4; 1)$.

253. Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 11$ при параллельном переносе на вектор $\vec{b}(-4; 1)$.

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где точка $(a, b)$ является центром окружности, а $R$ — ее радиусом.

Для исходной окружности, заданной уравнением $(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 11$, мы можем определить ее центр и радиус. Перепишем уравнение в стандартном виде: $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = (\sqrt{11})^2$.

Следовательно, центр исходной окружности — это точка $C_1$ с координатами $(-3; 4)$, а ее радиус $R = \sqrt{11}$.

Параллельный перенос — это изометрическое преобразование, что означает, что форма и размеры фигуры сохраняются. При переносе окружности ее радиус не изменяется, а смещается только ее центр.

Чтобы найти новый центр окружности $C_2(x'; y')$, нужно к координатам старого центра $C_1(-3; 4)$ прибавить соответствующие координаты вектора переноса $\vec{b}(-4; 1)$.

Координаты нового центра вычисляются по формулам:
$x' = x_1 + b_x$
$y' = y_1 + b_y$

Подставим известные значения:
$x' = -3 + (-4) = -7$
$y' = 4 + 1 = 5$

Таким образом, новый центр окружности находится в точке $C_2(-7; 5)$.

Радиус окружности после переноса остается прежним, поэтому $R' = R = \sqrt{11}$, и, соответственно, $(R')^2 = 11$.

Теперь мы можем составить уравнение новой окружности, используя координаты нового центра $C_2(-7; 5)$ и квадрат радиуса:
$(x - x')^2 + (y - y')^2 = (R')^2$
$(x - (-7))^2 + (y - 5)^2 = 11$
$(x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 11$

Ответ: $(x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 11$.