Номер 244, страница 61 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

244. Дан ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $AB$ является образом стороны $BC$;

2) сторона $AB$ является образом стороны $CD$;

3) отрезок $AO$ является образом отрезка $CO$?

В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 46

244. Дан ромб $ABCD$, диагонали которого пересекаются в точке $O$. Существует ли параллельный перенос, при котором:

1) сторона $AB$ является образом стороны $BC$;

2) сторона $AB$ является образом стороны $CD$;

3) отрезок $AO$ является образом отрезка $CO$? В случае утвердительного ответа укажите вектор, на который должен осуществляться параллельный перенос.

Рис. 46

1) Параллельный перенос — это преобразование, при котором отрезок переходит в равный ему и параллельный отрезок. В ромбе $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ являются смежными, они пересекаются в точке $B$. Следовательно, прямые, содержащие эти стороны, не параллельны. Поэтому не существует параллельного переноса, при котором сторона $BC$ переходит в сторону $AB$.
Ответ: нет, не существует.

2) В ромбе $ABCD$ противоположные стороны параллельны и равны по длине, то есть $AB \parallel CD$ и $|AB| = |CD|$. Это является необходимым и достаточным условием существования параллельного переноса, отображающего одну сторону на другую.
Найдем вектор этого переноса. Такой перенос должен отображать концы отрезка $CD$ на концы отрезка $AB$. Рассмотрим параллельный перенос на вектор $\vec{a} = \vec{CB}$. При этом переносе точка $C$ переходит в точку $B$. Проверим, перейдет ли точка $D$ в точку $A$. Это произойдет, если вектор переноса $\vec{CB}$ будет равен вектору $\vec{DA}$.
Поскольку $ABCD$ — ромб (а значит, и параллелограмм), то $\vec{AD} = \vec{BC}$. Умножив обе части векторного равенства на $-1$, получим $-\vec{AD} = -\vec{BC}$, что равносильно $\vec{DA} = \vec{CB}$.
Следовательно, параллельный перенос на вектор $\vec{CB}$ переводит точку $C$ в $B$ и точку $D$ в $A$. Значит, сторона $CD$ переходит в сторону $BA$, что является стороной $AB$.
Ответ: да, существует; вектор переноса равен $\vec{CB}$ (или равному ему вектору $\vec{DA}$).

3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Значит, точка $O$ — середина диагонали $AC$. Отсюда следует, что отрезки $AO$ и $CO$ лежат на одной прямой (а значит, параллельны) и их длины равны: $|AO| = |CO|$. Следовательно, существует параллельный перенос, переводящий отрезок $CO$ в отрезок $AO$.
Найдем вектор этого переноса. Рассмотрим перенос, который переводит точку $C$ в точку $O$. Вектор этого переноса — $\vec{CO}$. Теперь проверим, перейдет ли при этом переносе точка $O$ в точку $A$. Это произойдет, если вектор $\vec{OA}$ равен вектору переноса $\vec{CO}$.
Так как $O$ — середина $AC$, векторы $\vec{CO}$ и $\vec{OA}$ имеют одинаковое направление (вдоль прямой $AC$ от $C$ к $A$) и одинаковую длину. Таким образом, $\vec{CO} = \vec{OA}$.
Значит, параллельный перенос на вектор $\vec{CO}$ переводит точку $C$ в $O$ и точку $O$ в $A$, то есть отрезок $CO$ в отрезок $OA$ (отрезок $AO$).
Ответ: да, существует; вектор переноса равен $\vec{CO}$.