Номер 240, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

240. Найдите геометрическое место точек M (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (1; 3) и B (3; −5) выполняется равенство:

1) $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$;

2) $\overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = 2$.

240. Найдите геометрическое место точек M (x; y) координатной плоскости таких, что для точек A (1; 3) и B (3; −5) выполняется равенство:

1) $\vec{MA} \cdot \vec{AB} = 0;$

2) $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 2.$

Пусть искомая точка $M$ имеет координаты $(x; y)$. Даны точки $A(1; 3)$ и $B(3; -5)$.

1) $\vec{MA} \cdot \vec{AB} = 0$

Для решения задачи найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{AB}$.

Координаты вектора $\vec{MA}$ находятся как разность координат его конца (точка A) и начала (точка M):
$\vec{MA} = (1 - x; 3 - y)$.

Координаты вектора $\vec{AB}$ находятся как разность координат его конца (точка B) и начала (точка A):
$\vec{AB} = (3 - 1; -5 - 3) = (2; -8)$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ равно $x_1x_2 + y_1y_2$. По условию, скалярное произведение векторов $\vec{MA}$ и $\vec{AB}$ равно нулю:
$\vec{MA} \cdot \vec{AB} = (1 - x) \cdot 2 + (3 - y) \cdot (-8) = 0$.

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:
$2 - 2x - 24 + 8y = 0$
$-2x + 8y - 22 = 0$

Разделим обе части уравнения на $-2$:
$x - 4y + 11 = 0$.

Полученное уравнение является уравнением прямой. Условие равенства нулю скалярного произведения векторов означает, что эти векторы перпендикулярны. Таким образом, геометрическое место точек $M$ — это прямая, проходящая через точку A перпендикулярно прямой AB.

Ответ: $x - 4y + 11 = 0$ (прямая).

2) $\vec{MA} \cdot \vec{MB} = 2$

Найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$.

Координаты вектора $\vec{MA}$:
$\vec{MA} = (1 - x; 3 - y)$.

Координаты вектора $\vec{MB}$:
$\vec{MB} = (3 - x; -5 - y)$.

Согласно условию, скалярное произведение этих векторов равно 2:
$(1 - x)(3 - x) + (3 - y)(-5 - y) = 2$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(3 - x - 3x + x^2) + (-15 - 3y + 5y + y^2) = 2$
$x^2 - 4x + 3 + y^2 + 2y - 15 = 2$
$x^2 - 4x + y^2 + 2y - 12 = 2$
$x^2 - 4x + y^2 + 2y - 14 = 0$.

Это уравнение задает окружность. Для нахождения ее центра и радиуса выделим полные квадраты для переменных $x$ и $y$:
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) = 14$
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 + (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = 14$
$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 14$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 14 + 4 + 1$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 19$.

Это каноническое уравнение окружности с центром в точке с координатами $(2; -1)$ и радиусом $R = \sqrt{19}$.

Ответ: $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 19$ (окружность с центром в точке $(2; -1)$ и радиусом $\sqrt{19}$).