Номер 243, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

243. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AN$ и $DM$.

243. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $CD$ квадрата $ABCD$ соответственно. Найдите косинус угла между прямыми $AN$ и $DM$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A$, направив ось $Ox$ вдоль стороны $AB$ и ось $Oy$ вдоль стороны $AD$.

Пусть сторона квадрата равна $2a$. Тогда координаты вершин квадрата будут:

$A(0; 0)$, $B(2a; 0)$, $C(2a; 2a)$, $D(0; 2a)$.

Точка $M$ является серединой стороны $AB$. Найдем ее координаты:

$M = (\frac{0+2a}{2}; \frac{0+0}{2}) = (a; 0)$.

Точка $N$ является серединой стороны $CD$. Найдем ее координаты:

$N = (\frac{2a+0}{2}; \frac{2a+2a}{2}) = (a; 2a)$.

Угол между прямыми $AN$ и $DM$ равен углу между их направляющими векторами $\vec{AN}$ и $\vec{DM}$. Найдем координаты этих векторов:

$\vec{AN} = (x_N - x_A; y_N - y_A) = (a - 0; 2a - 0) = (a; 2a)$.

$\vec{DM} = (x_M - x_D; y_M - y_D) = (a - 0; 0 - 2a) = (a; -2a)$.

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле скалярного произведения:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{AN} \cdot \vec{DM}}{|\vec{AN}| \cdot |\vec{DM}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{AN} \cdot \vec{DM} = a \cdot a + 2a \cdot (-2a) = a^2 - 4a^2 = -3a^2$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{AN}| = \sqrt{a^2 + (2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

$|\vec{DM}| = \sqrt{a^2 + (-2a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5}$.

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos(\alpha) = \frac{-3a^2}{a\sqrt{5} \cdot a\sqrt{5}} = \frac{-3a^2}{5a^2} = -\frac{3}{5}$.

Так как угол между прямыми по определению считается острым (не более $90^\circ$), его косинус должен быть неотрицательным. Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами.

$\cos(\phi) = |\cos(\alpha)| = |-\frac{3}{5}| = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$