Номер 242, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $BD$ треугольника $ABC$, если $A(-3; -1)$, $B(2; 4)$, $C(3; -2)$.

242. Составьте уравнение прямой, содержащей высоту $BD$ треугольника $ABC$, если $A(-3; -1)$, $B(2; 4)$, $C(3; -2)$.

Высота BD треугольника ABC, проведенная из вершины B, по определению перпендикулярна стороне AC. Чтобы составить уравнение прямой, содержащей высоту BD, нам нужно знать две вещи:
1. Координаты любой точки на этой прямой. У нас есть точка B(2; 4).
2. Угловой коэффициент (наклон) этой прямой. Мы можем найти его, используя свойство перпендикулярности прямых BD и AC.

1. Найдем угловой коэффициент прямой AC.
Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки A($x_A; y_A$) и C($x_C; y_C$), вычисляется по формуле:
$k_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A}$
Подставим координаты точек A(-3; -1) и C(3; -2):
$k_{AC} = \frac{-2 - (-1)}{3 - (-3)} = \frac{-2 + 1}{3 + 3} = -\frac{1}{6}$

2. Найдем угловой коэффициент высоты BD.
Прямые BD и AC перпендикулярны. Условие перпендикулярности двух прямых (не параллельных осям координат) заключается в том, что произведение их угловых коэффициентов равно -1:
$k_{BD} \cdot k_{AC} = -1$
Отсюда мы можем найти угловой коэффициент прямой BD:
$k_{BD} = -\frac{1}{k_{AC}} = -\frac{1}{-\frac{1}{6}} = 6$

3. Составим уравнение прямой, содержащей высоту BD.
Теперь у нас есть угловой коэффициент прямой BD ($k_{BD} = 6$) и координаты точки B(2; 4), через которую она проходит. Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
Подставляем наши значения ($k=6, x_0=2, y_0=4$):
$y - 4 = 6(x - 2)$
Теперь приведем уравнение к общему виду $Ax + By + C = 0$:
$y - 4 = 6x - 12$
$6x - y - 12 + 4 = 0$
$6x - y - 8 = 0$

Ответ: $6x - y - 8 = 0$