Номер 235, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\overrightarrow{CD}$, если $C (2; -5)$, $D (-3; 7)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

235. Найдите косинусы углов, которые образует вектор $\vec{CD}$, если $C (2; -5)$, $D (-3; 7)$, с отрицательными направлениями координатных осей.

Для того чтобы найти косинусы углов, которые образует вектор $\overrightarrow{CD}$ с отрицательными направлениями координатных осей, необходимо сначала определить координаты самого вектора, а затем его модуль (длину).

Координаты вектора $\overrightarrow{CD}$ вычисляются как разность соответствующих координат его конечной точки $D(-3; 7)$ и начальной точки $C(2; -5)$:

$\overrightarrow{CD} = (x_D - x_C; y_D - y_C) = (-3 - 2; 7 - (-5)) = (-5; 12)$.

Далее найдем модуль вектора $\overrightarrow{CD}$ по формуле $|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$:

$|\overrightarrow{CD}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле, использующей скалярное произведение:

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$.

Отрицательное направление оси Ox задается единичным вектором $\vec{i'} = (-1; 0)$, а отрицательное направление оси Oy — единичным вектором $\vec{j'} = (0; -1)$.

Косинус угла с отрицательным направлением оси Ox

Найдем косинус угла $\alpha'$ между вектором $\overrightarrow{CD}=(-5; 12)$ и вектором, задающим отрицательное направление оси Ox, $\vec{i'}=(-1; 0)$.

Скалярное произведение векторов:

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{i'} = (-5) \cdot (-1) + 12 \cdot 0 = 5$.

Модуль вектора $\vec{i'}$ равен $|\vec{i'}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2} = 1$.

Теперь вычислим косинус угла:

$\cos \alpha' = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \vec{i'}}{|\overrightarrow{CD}| \cdot |\vec{i'}|} = \frac{5}{13 \cdot 1} = \frac{5}{13}$.

Ответ: $\frac{5}{13}$

Косинус угла с отрицательным направлением оси Oy

Найдем косинус угла $\beta'$ между вектором $\overrightarrow{CD}=(-5; 12)$ и вектором, задающим отрицательное направление оси Oy, $\vec{j'}=(0; -1)$.

Скалярное произведение векторов:

$\overrightarrow{CD} \cdot \vec{j'} = (-5) \cdot 0 + 12 \cdot (-1) = -12$.

Модуль вектора $\vec{j'}$ равен $|\vec{j'}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2} = 1$.

Вычислим косинус угла:

$\cos \beta' = \frac{\overrightarrow{CD} \cdot \vec{j'}}{|\overrightarrow{CD}| \cdot |\vec{j'}|} = \frac{-12}{13 \cdot 1} = -\frac{12}{13}$.

Ответ: $-\frac{12}{13}$