Номер 233, страница 60 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$. Найдите:

1) $|\vec{a} - \vec{b}|$;

2) $|\vec{a} + 3\vec{b}|$.

233. Даны векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, $|\vec{a}|=4$, $|\vec{b}|=5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b})=30^{\circ}$. Найдите:

1) $|\vec{a}-\vec{b}|;$

2) $|\vec{a}+3\vec{b}|.$

Для решения задачи воспользуемся свойством скалярного произведения векторов: квадрат модуля вектора равен его скалярному квадрату, то есть $|\vec{c}|^2 = \vec{c} \cdot \vec{c}$. Зная это, мы можем найти квадрат искомого модуля, а затем извлечь из него квадратный корень.

Для вычислений нам понадобится скалярное произведение исходных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Найдем его по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.

Подставим данные из условия: $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 5$, $\angle(\vec{a}, \vec{b}) = 30^\circ$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 4 \cdot 5 \cdot \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$.

1) Найдем $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Возведем модуль в квадрат и раскроем скобки, используя дистрибутивность скалярного произведения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b} \cdot \vec{a} + \vec{b} \cdot \vec{b}$.

Учитывая, что скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и $\vec{c} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$, получим:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4^2 - 2(10\sqrt{3}) + 5^2 = 16 - 20\sqrt{3} + 25 = 41 - 20\sqrt{3}$.

Теперь извлечем квадратный корень, чтобы найти модуль вектора:

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{41 - 20\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt{41 - 20\sqrt{3}}$.

2) Найдем $|\vec{a} + 3\vec{b}|$.

Действуем аналогично первому пункту. Возведем модуль в квадрат:

$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3\vec{b}) = \vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot (3\vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot \vec{a} + (3\vec{b}) \cdot (3\vec{b})$.

Используя свойства скалярного произведения, упростим выражение:

$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 3(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 9(\vec{b} \cdot \vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9|\vec{b}|^2$.

Подставим известные значения:

$|\vec{a} + 3\vec{b}|^2 = 4^2 + 6(10\sqrt{3}) + 9 \cdot 5^2 = 16 + 60\sqrt{3} + 9 \cdot 25 = 16 + 60\sqrt{3} + 225 = 241 + 60\sqrt{3}$.

Извлечем квадратный корень:

$|\vec{a} + 3\vec{b}| = \sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.

Ответ: $\sqrt{241 + 60\sqrt{3}}$.