Номер 227, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

227. Медианы $AM$ и $CE$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 6 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$;

2) $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$;

3) $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$;

4) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$;

5) $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$;

6) $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$.

227. Медианы $AM$ и $CE$ правильного треугольника $ABC$ со стороной 6 см пересекаются в точке $O$. Найдите скалярное произведение векторов:

1) $ \vec{BA} $ и $ \vec{BC} $;

2) $ \vec{BC} $ и $ \vec{AC} $;

3) $ \vec{AM} $ и $ \vec{BC} $;

4) $ \vec{AO} $ и $ \vec{OC} $;

5) $ \vec{OA} $ и $ \vec{EC} $;

6) $ \vec{OE} $ и $ \vec{CO} $.

В правильном треугольнике ABC со стороной $a=6$ см все углы равны $60^\circ$. Медианы AM и CE также являются высотами и биссектрисами. Точка пересечения медиан O (центроид) делит их в отношении 2:1, считая от вершины.

Длина медианы в правильном треугольнике вычисляется по формуле $m = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.При $a=6$, длина медиан $AM$ и $CE$ равна: $|\vec{AM}| = |\vec{CE}| = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Точка O делит медианы на отрезки:

• $|\vec{AO}| = |\vec{CO}| = \frac{2}{3}m = \frac{2}{3}(3\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
• $|\vec{OM}| = |\vec{OE}| = \frac{1}{3}m = \frac{1}{3}(3\sqrt{3}) = \sqrt{3}$

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$ равно $|\vec{u}| |\vec{v}| \cos(\alpha)$, где $\alpha$ - угол между векторами.

1) $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$

Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ исходят из одной вершины B. Угол между ними равен углу треугольника $\angle ABC = 60^\circ$. Длины векторов равны стороне треугольника: $|\vec{BA}| = |\vec{BC}| = 6$.

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.

Ответ: 18

2) $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$

Чтобы найти угол между векторами $\vec{BC}$ и $\vec{AC}$, приведем их к общему началу. Заменим их на противоположные векторы с общим началом в точке C: $\vec{CB} = -\vec{BC}$ и $\vec{CA} = -\vec{AC}$.

$\vec{BC} \cdot \vec{AC} = (-\vec{CB}) \cdot (-\vec{CA}) = \vec{CB} \cdot \vec{CA}$.

Угол между векторами $\vec{CB}$ и $\vec{CA}$ равен $\angle BCA = 60^\circ$.

$\vec{CB} \cdot \vec{CA} = |\vec{CB}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(\angle BCA) = 6 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ) = 36 \cdot \frac{1}{2} = 18$.

Ответ: 18

3) $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$

В правильном треугольнике медиана $AM$ является также высотой, проведенной к стороне $BC$. Следовательно, прямые $AM$ и $BC$ перпендикулярны.

Угол между векторами $\vec{AM}$ и $\vec{BC}$ равен $90^\circ$.

Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю: $\vec{AM} \cdot \vec{BC} = |\vec{AM}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(90^\circ) = 0$.

Ответ: 0

4) $\vec{AO}$ и $\vec{OC}$

Рассмотрим векторное равенство $\vec{AC} = \vec{AO} + \vec{OC}$. Возведем его в скалярный квадрат:

$|\vec{AC}|^2 = (\vec{AO} + \vec{OC}) \cdot (\vec{AO} + \vec{OC}) = |\vec{AO}|^2 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC}) + |\vec{OC}|^2$.

Подставим известные значения: $|\vec{AC}|=6$, $|\vec{AO}|=2\sqrt{3}$, $|\vec{OC}|=2\sqrt{3}$.

$6^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC}) + (2\sqrt{3})^2$.

$36 = 12 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC}) + 12$.

$36 = 24 + 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC})$.

$12 = 2(\vec{AO} \cdot \vec{OC})$.

$\vec{AO} \cdot \vec{OC} = 6$.

Ответ: 6

5) $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$

Найдем угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$. Вектор $\vec{OA}$ направлен вдоль медианы AM от точки O к A. Вектор $\vec{EC}$ направлен вдоль медианы CE от точки E к C. Векторы $\vec{EC}$ и $\vec{OC}$ сонаправлены. Значит, угол между $\vec{OA}$ и $\vec{EC}$ равен углу между $\vec{OA}$ и $\vec{OC}$, то есть $\angle AOC$.

В треугольнике AOC стороны $AO=OC=2\sqrt{3}$. Медианы являются и биссектрисами, поэтому $\angle OAC = \angle OCA = 60^\circ/2 = 30^\circ$. Тогда $\angle AOC = 180^\circ - (30^\circ+30^\circ) = 120^\circ$.

$\vec{OA} \cdot \vec{EC} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{EC}| \cdot \cos(\angle AOC) = (2\sqrt{3}) \cdot (3\sqrt{3}) \cdot \cos(120^\circ) = (18) \cdot (-\frac{1}{2}) = -9$.

Ответ: -9

6) $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$

Векторы $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$ лежат на одной прямой (медиане CE). Вектор $\vec{OE}$ направлен от O к E. Вектор $\vec{CO}$ направлен от C к O. Они сонаправлены.

Угол между векторами $\vec{OE}$ и $\vec{CO}$ равен $0^\circ$.

$\vec{OE} \cdot \vec{CO} = |\vec{OE}| \cdot |\vec{CO}| \cdot \cos(0^\circ) = (\sqrt{3}) \cdot (2\sqrt{3}) \cdot 1 = 6$.

Ответ: 6