Номер 222, страница 59 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}|=2$, $|\vec{b}|=3$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.

222. Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен $150^\circ$, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$.

Найдите:

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;

2) $(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.

1) $\vec{a} \cdot \vec{b}$;
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Формула скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\angle(\vec{a}, \vec{b}))$.
По условию задачи, $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 3$, а угол между векторами равен $150^\circ$.
Подставим эти значения в формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 3 \cdot \cos(150^\circ)$.
Найдем значение косинуса $150^\circ$:
$\cos(150^\circ) = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos(30^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь вычислим скалярное произведение:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3\sqrt{3}$.
Ответ: $-3\sqrt{3}$

2) $(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.
Воспользуемся свойствами скалярного произведения, в частности, дистрибутивным законом (раскроем скобки):
$(3\vec{a} - 2\vec{b}) \cdot \vec{b} = (3\vec{a}) \cdot \vec{b} - (2\vec{b}) \cdot \vec{b}$.
Далее вынесем скалярные множители за знак скалярного произведения:
$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2(\vec{b} \cdot \vec{b})$.
Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля): $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$.
Выражение принимает вид:
$3(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 2|\vec{b}|^2$.
Из предыдущего пункта мы знаем, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = -3\sqrt{3}$. По условию $|\vec{b}| = 3$, значит $|\vec{b}|^2 = 3^2 = 9$.
Подставим найденные значения:
$3(-3\sqrt{3}) - 2(9) = -9\sqrt{3} - 18$.
Ответ: $-9\sqrt{3} - 18$