Номер 220, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

220. Даны векторы $\vec{a}(2; -4)$, $\vec{b}(3; -5)$ и $\vec{k}(5; -7)$. Найдите такие числа x и y, что $\vec{k} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

220. Даны векторы $\vec{a}(2; -4)$, $\vec{b}(3; -5)$ и $\vec{k}(5; -7)$. Найдите такие числа $x$ и $y$, что $\vec{k} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

По условию задачи нам нужно найти такие числа $x$ и $y$, для которых выполняется векторное равенство $\vec{k} = x\vec{a} + y\vec{b}$.

Подставим координаты данных векторов $\vec{a}(2; -4)$, $\vec{b}(3; -5)$ и $\vec{k}(5; -7)$ в это равенство.

Сначала вычислим правую часть уравнения в координатах:
$x\vec{a} + y\vec{b} = x(2; -4) + y(3; -5) = (2x; -4x) + (3y; -5y) = (2x + 3y; -4x - 5y)$

Теперь приравняем координаты вектора $\vec{k}$ и полученного вектора:
$(5; -7) = (2x + 3y; -4x - 5y)$

Равенство векторов означает равенство их соответствующих координат. Это приводит нас к системе двух линейных уравнений с двумя переменными $x$ и $y$:
$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ -4x - 5y = -7 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся методом сложения. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $x$ стали противоположными числами:
$2 \cdot (2x + 3y) = 2 \cdot 5$
$4x + 6y = 10$

Теперь сложим это новое уравнение со вторым уравнением системы:
$(4x + 6y) + (-4x - 5y) = 10 + (-7)$
$4x - 4x + 6y - 5y = 3$
$y = 3$

Подставим найденное значение $y=3$ в первое уравнение исходной системы, чтобы найти $x$:
$2x + 3(3) = 5$
$2x + 9 = 5$
$2x = 5 - 9$
$2x = -4$
$x = -2$

Таким образом, искомые числа равны $x = -2$ и $y = 3$.

Ответ: $x = -2, y = 3$.