Номер 218, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

218. Лежат ли точки $D (4; -2)$, $E (5; 1)$ и $F (7; 7)$ на одной прямой?

218. Лежат ли точки $D(4; -2)$, $E(5; 1)$ и $F(7; 7)$ на одной прямой?

Чтобы определить, лежат ли три точки на одной прямой, можно составить уравнение прямой, проходящей через две из этих точек, а затем проверить, удовлетворяют ли координаты третьей точки этому уравнению.

1. Нахождение уравнения прямой, проходящей через точки D и E.

Возьмем точки $D(4; -2)$ и $E(5; 1)$. Уравнение прямой в общем виде выглядит как $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член.

Подставим координаты точек $D$ и $E$ в уравнение прямой, чтобы составить систему уравнений:

Для точки $D(4; -2)$: $-2 = k \cdot 4 + b$

Для точки $E(5; 1)$: $1 = k \cdot 5 + b$

Получаем систему:

$\begin{cases} 4k + b = -2 \\ 5k + b = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Вычтем первое уравнение из второго:

$(5k + b) - (4k + b) = 1 - (-2)$

$5k + b - 4k - b = 3$

$k = 3$

Теперь подставим найденное значение $k=3$ в первое уравнение, чтобы найти $b$:

$4 \cdot 3 + b = -2$

$12 + b = -2$

$b = -2 - 12$

$b = -14$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки $D$ и $E$, имеет вид: $y = 3x - 14$.

2. Проверка принадлежности точки F полученной прямой.

Теперь проверим, принадлежит ли точка $F(7; 7)$ этой прямой. Для этого подставим ее координаты ($x=7$, $y=7$) в полученное уравнение:

$7 = 3 \cdot 7 - 14$

$7 = 21 - 14$

$7 = 7$

Равенство верное, следовательно, точка $F$ лежит на прямой, проходящей через точки $D$ и $E$.

Поскольку все три точки принадлежат одной и той же прямой $y = 3x - 14$, они лежат на одной прямой.

Ответ: Да, точки D, E и F лежат на одной прямой.