Номер 211, страница 58 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

211. Коллинеарны ли векторы $ \vec{AB} $ и $ \vec{CD} $, если A (2; -5), B (1; -8), C (-4; -6), D (-2; 0)?

211. Коллинеарны ли векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{CD}$, если $A (2; -5)$, $B (1; -8)$, $C (-4; -6)$, $D (-2; 0)$?

Для того чтобы определить, коллинеарны ли векторы, необходимо найти их координаты и проверить, пропорциональны ли они. Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если существует такое число $k$, что $x_2 = k \cdot x_1$ и $y_2 = k \cdot y_1$. Это равносильно условию пропорциональности координат: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1}$ (при условии, что $x_1 \neq 0$ и $y_1 \neq 0$).

1. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{AB}$. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для точек $A(2; -5)$ и $B(1; -8)$:

$\overrightarrow{AB} = (1 - 2; -8 - (-5)) = (-1; -8 + 5) = (-1; -3)$.

2. Найдем координаты вектора $\overrightarrow{CD}$.

Для точек $C(-4; -6)$ и $D(-2; 0)$:

$\overrightarrow{CD} = (-2 - (-4); 0 - (-6)) = (-2 + 4; 0 + 6) = (2; 6)$.

3. Проверим пропорциональность координат векторов $\overrightarrow{AB}(-1; -3)$ и $\overrightarrow{CD}(2; 6)$.

Составим отношения соответствующих координат:

$\frac{2}{-1} = -2$

$\frac{6}{-3} = -2$

Поскольку отношения координат равны, то есть $\frac{2}{-1} = \frac{6}{-3} = -2$, то векторы коллинеарны. Коэффициент пропорциональности $k = -2$, и выполняется равенство $\overrightarrow{CD} = -2 \cdot \overrightarrow{AB}$.

Ответ: да, векторы коллинеарны.