Номер 209, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. На сторонах $DF$ и $EF$ треугольника $DEF$ отмечены такие точки $P$ и $K$ соответственно, что $DP : PF = 1 : 4$, $EK : KF = 4 : 3$. Выразите векторы $\vec{EF}$, $\vec{FD}$, $\vec{DE}$, $\vec{KD}$ и $\vec{PE}$ через векторы $\vec{DP} = \vec{m}$ и $\vec{FK} = \vec{n}$.

209. На сторонах $DF$ и $EF$ треугольника $DEF$ отмечены такие точки $P$ и $K$ соответственно, что $DP : PF = 1 : 4$, $EK : KF = 4 : 3$. Выразите векторы $\overrightarrow{EF}$, $\overrightarrow{FD}$, $\overrightarrow{DE}$, $\overrightarrow{KD}$ и $\overrightarrow{PE}$ через векторы $\overrightarrow{DP} = \overrightarrow{m}$ и $\overrightarrow{FK} = \overrightarrow{n}$.

Для решения задачи воспользуемся данными из условия и правилами действий с векторами.

Дано: $\vec{DP} = \vec{m}$, $\vec{FK} = \vec{n}$, $DP : PF = 1 : 4$, $EK : KF = 4 : 3$.

$\vec{EF}$

Точка $K$ лежит на стороне $EF$, причём $EK : KF = 4 : 3$. Это означает, что векторы $\vec{EK}$ и $\vec{KF}$ сонаправлены (оба направлены от $E$ к $F$). Вектор $\vec{KF}$ противоположен заданному вектору $\vec{FK} = \vec{n}$, следовательно, $\vec{KF} = -\vec{n}$.

Из отношения длин отрезков $|\vec{EK}| = \frac{4}{3}|\vec{KF}|$. Так как векторы $\vec{EK}$ и $\vec{KF}$ сонаправлены, то $\vec{EK} = \frac{4}{3}\vec{KF} = \frac{4}{3}(-\vec{n}) = -\frac{4}{3}\vec{n}$.

Вектор $\vec{EF}$ можно найти как сумму его частей: $\vec{EF} = \vec{EK} + \vec{KF}$.

$\vec{EF} = -\frac{4}{3}\vec{n} + (-\vec{n}) = -\frac{4}{3}\vec{n} - \frac{3}{3}\vec{n} = -\frac{7}{3}\vec{n}$.

Ответ: $\vec{EF} = -\frac{7}{3}\vec{n}$.

$\vec{FD}$

Точка $P$ лежит на стороне $DF$, причём $DP : PF = 1 : 4$. Это означает, что векторы $\vec{DP}$ и $\vec{PF}$ сонаправлены. По условию $\vec{DP} = \vec{m}$.

Из отношения длин отрезков $|\vec{PF}| = 4|\vec{DP}|$. Так как векторы сонаправлены, $\vec{PF} = 4\vec{DP} = 4\vec{m}$.

Вектор $\vec{DF}$ равен сумме его частей: $\vec{DF} = \vec{DP} + \vec{PF} = \vec{m} + 4\vec{m} = 5\vec{m}$.

Вектор $\vec{FD}$ является противоположным вектору $\vec{DF}$, поэтому $\vec{FD} = -\vec{DF} = -5\vec{m}$.

Ответ: $\vec{FD} = -5\vec{m}$.

$\vec{DE}$

По правилу треугольника для сложения векторов: $\vec{DE} = \vec{DF} + \vec{FE}$.

Из предыдущих пунктов мы нашли, что $\vec{DF} = 5\vec{m}$ и $\vec{EF} = -\frac{7}{3}\vec{n}$.

Вектор $\vec{FE}$ противоположен вектору $\vec{EF}$, следовательно, $\vec{FE} = -\vec{EF} = -(-\frac{7}{3}\vec{n}) = \frac{7}{3}\vec{n}$.

Подставляем найденные выражения: $\vec{DE} = 5\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.

Ответ: $\vec{DE} = 5\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.

$\vec{KD}$

Для нахождения вектора $\vec{KD}$ воспользуемся правилом ломаной: $\vec{KD} = \vec{KF} + \vec{FD}$.

Мы уже определили, что $\vec{KF} = -\vec{n}$ и $\vec{FD} = -5\vec{m}$.

Следовательно, $\vec{KD} = -\vec{n} + (-5\vec{m}) = -5\vec{m} - \vec{n}$.

Ответ: $\vec{KD} = -5\vec{m} - \vec{n}$.

$\vec{PE}$

Аналогично, представим вектор $\vec{PE}$ как сумму векторов по ломаной PFE: $\vec{PE} = \vec{PF} + \vec{FE}$.

Из предыдущих расчетов мы знаем, что $\vec{PF} = 4\vec{m}$ и $\vec{FE} = \frac{7}{3}\vec{n}$.

Следовательно, $\vec{PE} = 4\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.

Ответ: $\vec{PE} = 4\vec{m} + \frac{7}{3}\vec{n}$.