Номер 207, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Точки N и M — середины сторон BC и CD трапеции ABCD (рис. 44). Выразите вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Рис. 44

207. Точки N и M — середины сторон BC и CD трапеции ABCD (рис. 44). Выразите вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$.

Рис. 44

Для того чтобы выразить вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$, воспользуемся правилом многоугольника для сложения векторов. Представим вектор $\vec{MN}$ как сумму векторов, составляющих ломаную линию $MCN$:

$\vec{MN} = \vec{MC} + \vec{CN}$

Из условия задачи известно, что точка $N$ является серединой стороны $BC$, а точка $M$ — серединой стороны $CD$. Это позволяет выразить векторы $\vec{CN}$ и $\vec{MC}$ через векторы сторон трапеции:

$\vec{CN} = \frac{1}{2}\vec{CB}$
$\vec{MC} = \frac{1}{2}\vec{DC}$

Теперь подставим эти выражения в исходное равенство для $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{DC} + \frac{1}{2}\vec{CB} = \frac{1}{2}(\vec{DC} + \vec{CB})$

Согласно правилу треугольника для сложения векторов, сумма векторов $\vec{DC}$ и $\vec{CB}$ равна вектору $\vec{DB}$, который соединяет начало первого вектора с концом второго:

$\vec{DC} + \vec{CB} = \vec{DB}$

Таким образом, выражение для $\vec{MN}$ можно упростить:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{DB}$

Следующим шагом выразим вектор $\vec{DB}$ через заданные векторы $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Для этого рассмотрим треугольник $ABD$. По правилу вычитания векторов (или по правилу треугольника $\vec{AD} + \vec{DB} = \vec{AB}$), имеем:

$\vec{DB} = \vec{AB} - \vec{AD}$

Подставим известные обозначения векторов:

$\vec{DB} = \vec{a} - \vec{b}$

Наконец, подставим полученное выражение для вектора $\vec{DB}$ в формулу для вектора $\vec{MN}$:

$\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$

Ответ: $\vec{MN} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$.