Номер 201, страница 57 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. Постройте два неколлинеарных вектора $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $ -2\vec{a} - 3\vec{b}; $

2) $ \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}. $

201. Постройте два неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Отметьте произвольную точку и отложите от неё вектор:

1) $-2\vec{a} - 3\vec{b};$

2) $\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}.$

Для решения задачи сначала построим два произвольных неколлинеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Неколлинеарные векторы — это векторы, которые не лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Затем выберем на плоскости произвольную точку $O$, которая будет служить началом для искомых векторов.

1) $-2\vec{a}-3\vec{b}$

Чтобы построить вектор $\vec{c} = -2\vec{a}-3\vec{b}$, выполним следующие шаги:

1. Построим вектор $-2\vec{a}$. Этот вектор имеет направление, противоположное направлению вектора $\vec{a}$, и его длина в два раза больше длины вектора $\vec{a}$. Отложим этот вектор от точки $O$ и назовем его $\vec{OA}$. Таким образом, $\vec{OA} = -2\vec{a}$.
2. Построим вектор $-3\vec{b}$. Этот вектор направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{b}$, и его длина в три раза больше длины вектора $\vec{b}$.
3. Теперь сложим полученные векторы, используя правило треугольника. От конца первого вектора (точки $A$) отложим вектор, равный вектору $-3\vec{b}$. Назовем его $\vec{AB}$. То есть $\vec{AB} = -3\vec{b}$.
4. Соединим начальную точку $O$ с конечной точкой $B$. Полученный вектор $\vec{OB}$ и будет искомым вектором $\vec{c}$.

Таким образом, по правилу сложения векторов: $\vec{c} = \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = -2\vec{a} - 3\vec{b}$.

Ответ: Искомый вектор строится путем последовательного откладывания от произвольной точки $O$ вектора, противоположного $\vec{a}$ и вдвое длиннее его, а затем от конца полученного вектора — вектора, противоположного $\vec{b}$ и втрое длиннее его. Результирующий вектор соединяет начальную точку $O$ с концом второго построенного вектора.

2) $\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

Чтобы построить вектор $\vec{d} = \frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$, выполним следующие шаги:

1. Построим вектор $\frac{1}{3}\vec{a}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (имеет то же направление), а его длина составляет одну треть от длины вектора $\vec{a}$. Отложим этот вектор от точки $O$ и назовем его $\vec{OC}$. Таким образом, $\vec{OC} = \frac{1}{3}\vec{a}$.
2. Построим вектор $\frac{1}{2}\vec{b}$. Этот вектор сонаправлен с вектором $\vec{b}$, а его длина равна половине длины вектора $\vec{b}$.
3. Сложим полученные векторы, используя правило параллелограмма. От точки $O$ отложим второй вектор, $\vec{OD} = \frac{1}{2}\vec{b}$.
4. На векторах $\vec{OC}$ и $\vec{OD}$ как на сторонах построим параллелограмм $OCED$.
5. Диагональ этого параллелограмма, выходящая из общего начала (точки $O$), то есть вектор $\vec{OE}$, и будет искомым вектором $\vec{d}$.

Таким образом, по правилу параллелограмма: $\vec{d} = \vec{OE} = \vec{OC} + \vec{OD} = \frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$.

Ответ: Искомый вектор является диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\frac{1}{3}\vec{a}$ и $\frac{1}{2}\vec{b}$, отложенных от одной точки $O$. Вектор $\frac{1}{3}\vec{a}$ сонаправлен с $\vec{a}$ и имеет длину $1/3$ от его длины. Вектор $\frac{1}{2}\vec{b}$ сонаправлен с $\vec{b}$ и имеет длину $1/2$ от его длины.