Номер 195, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$. Найдите координаты точки $K$ такой, что $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$.

195. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$. Найдите координаты точки $K$ такой, что $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$.

Пусть искомая точка K имеет координаты $(x; y)$. Даны точки $M(-4; 5)$ и $N(6; -7)$.

По условию задачи должно выполняться векторное равенство: $\vec{MK} - \vec{KN} = \vec{0}$

Из этого равенства следует, что: $\vec{MK} = \vec{KN}$

Равенство векторов означает, что их соответствующие координаты равны. Найдем координаты каждого вектора. Координаты вектора находятся как разность соответствующих координат его конца и начала.

Для вектора $\vec{MK}$ с началом в точке $M(-4; 5)$ и концом в точке $K(x; y)$ координаты будут: $\vec{MK} = (x - (-4); y - 5) = (x + 4; y - 5)$

Для вектора $\vec{KN}$ с началом в точке $K(x; y)$ и концом в точке $N(6; -7)$ координаты будут: $\vec{KN} = (6 - x; -7 - y)$

Приравняем соответствующие координаты векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KN}$, чтобы составить систему уравнений: $\begin{cases} x + 4 = 6 - x \\ y - 5 = -7 - y \end{cases}$

Решим первое уравнение относительно $x$: $x + x = 6 - 4$ $2x = 2$ $x = 1$

Решим второе уравнение относительно $y$: $y + y = -7 + 5$ $2y = -2$ $y = -1$

Следовательно, координаты точки К равны $(1; -1)$.

Замечание: Равенство $\vec{MK} = \vec{KN}$ означает, что точка K является серединой отрезка MN. Ее координаты можно было найти по формуле координат середины отрезка: $x_K = \frac{x_M + x_N}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$ $y_K = \frac{y_M + y_N}{2} = \frac{5 + (-7)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ Результат совпадает.

Ответ: $K(1; -1)$