Номер 193, страница 56 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Сложение и вычитание векторов. Вариант 2. Упражнения - номер 193, страница 56.

Условие 2017.

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) 5; 4; 1;

2) 8; 6; 3;

3) 7; 8; 16?

Условие 2021.

193. Может ли быть нулевым вектором сумма трёх векторов, модули которых равны:

1) $5; 4; 1$;

2) $8; 6; 3$;

3) $7; 8; 16$?

Решение.

Решение 2 (2021).

Сумма трех векторов $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ может быть равна нулевому вектору ($\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$) тогда и только тогда, когда из этих векторов можно составить замкнутую фигуру — треугольник (возможно, вырожденный). Для этого модули векторов должны удовлетворять неравенству треугольника: модуль любого вектора должен быть меньше или равен сумме модулей двух других. На практике достаточно проверить, что самый большой модуль не превышает сумму двух других.

1) Даны модули векторов: 5; 4; 1. Наибольший модуль равен 5. Сумма двух других модулей составляет $4 + 1 = 5$. Проверим выполнение неравенства треугольника для наибольшей стороны: $5 \le 4 + 1$. Так как $5 = 5$, неравенство выполняется. Это означает, что сумма векторов может быть нулевым вектором. Данный случай соответствует вырожденному треугольнику, где все векторы коллинеарны (лежат на одной прямой). Векторы с модулями 4 и 1 направлены в одну сторону, а вектор с модулем 5 — в противоположную.
Ответ: да, может.

2) Даны модули векторов: 8; 6; 3. Наибольший модуль равен 8. Сумма двух других модулей составляет $6 + 3 = 9$. Проверим выполнение неравенства треугольника для наибольшей стороны: $8 \le 6 + 3$. Так как $8 < 9$, неравенство выполняется. Следовательно, из этих векторов можно составить невырожденный треугольник, и их сумма может быть равна нулевому вектору.
Ответ: да, может.

3) Даны модули векторов: 7; 8; 16. Наибольший модуль равен 16. Сумма двух других модулей составляет $7 + 8 = 15$. Проверим выполнение неравенства треугольника для наибольшей стороны: $16 \le 7 + 8$. Так как $16 > 15$, неравенство не выполняется. Это означает, что из отрезков с такими длинами нельзя составить треугольник (даже вырожденный). Следовательно, сумма векторов с такими модулями не может быть равна нулевому вектору. Если предположить, что $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$, где $|\vec{a}|=7, |\vec{b}|=8, |\vec{c}|=16$, то $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$, и тогда $|\vec{a} + \vec{b}| = |-\vec{c}| = |\vec{c}| = 16$. По неравенству треугольника для векторов $|\vec{a}+\vec{b}| \le |\vec{a}|+|\vec{b}|$, откуда получаем $16 \le 7+8$, что является неверным ($16 \le 15$). Противоречие доказывает, что сумма не может быть нулевой.
Ответ: нет, не может.