Номер 187, страница 55 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

187. Модуль вектора $\vec{n}(x; y)$ равен $\sqrt{10}$, а координата $x$ этого вектора меньше координаты $y$ на 2. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

187. Модуль вектора $\vec{n}(x; y)$ равен $\sqrt{10}$, а координата $x$ этого вектора меньше координаты $y$ на 2. Найдите координаты вектора $\vec{n}$.

Пусть искомый вектор имеет координаты $\vec{n}(x; y)$.

Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{n}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. По условию задачи, модуль вектора $\vec{n}$ равен $\sqrt{10}$. Составим первое уравнение на основе этой информации:

$\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{10}$

Чтобы избавиться от квадратных корней, возведем обе части уравнения в квадрат:

$x^2 + y^2 = 10$

Также в условии сказано, что координата $x$ этого вектора меньше координаты $y$ на 2. Это можно записать в виде второго уравнения:

$x = y - 2$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными, которую нужно решить:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x = y - 2\end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из второго уравнения в первое:

$(y - 2)^2 + y^2 = 10$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $y$:

$(y^2 - 4y + 4) + y^2 = 10$
$2y^2 - 4y + 4 - 10 = 0$
$2y^2 - 4y - 6 = 0$

Разделим все уравнение на 2, чтобы упростить его:

$y^2 - 2y - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Легко подобрать корни:

$y_1 = 3$ и $y_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного значения $y$, используя уравнение $x = y - 2$:

1. Если $y_1 = 3$, то $x_1 = 3 - 2 = 1$. Таким образом, первый возможный набор координат вектора — $(1; 3)$.

2. Если $y_2 = -1$, то $x_2 = -1 - 2 = -3$. Таким образом, второй возможный набор координат вектора — $(-3; -1)$.

Оба найденных решения удовлетворяют условиям задачи.

Ответ: $(1; 3)$ или $(-3; -1)$.