Номер 182, страница 54 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2)$, $N (-1; 6)$, $K (6; 7)$, $P (4; 3)$ является параллелограммом.

182. Докажите, что четырёхугольник $MNKP$ с вершинами в точках $M (-3; 2)$, $N (-1; 6)$, $K (6; 7)$, $P (4; 3)$ является параллелограммом.

Для того чтобы доказать, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом, достаточно показать, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. В координатной плоскости это означает, что середины его диагоналей должны совпадать.

Заданные координаты вершин четырёхугольника: M(–3; 2), N(–1; 6), K(6; 7), P(4; 3).

Диагоналями данного четырёхугольника являются отрезки MK и NP.

Найдём координаты середины диагонали MK, обозначив её точкой O. Координаты середины отрезка вычисляются по формулам: $x_O = \frac{x_M + x_K}{2}$ и $y_O = \frac{y_M + y_K}{2}$.

Подставим координаты точек M(–3; 2) и K(6; 7):

$x_O = \frac{-3 + 6}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_O = \frac{2 + 7}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Координаты середины диагонали MK: $O(1.5; 4.5)$.

Теперь найдём координаты середины диагонали NP, обозначив её точкой O'.

Подставим координаты точек N(–1; 6) и P(4; 3):

$x_{O'} = \frac{-1 + 4}{2} = \frac{3}{2} = 1.5$

$y_{O'} = \frac{6 + 3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

Координаты середины диагонали NP: $O'(1.5; 4.5)$.

Поскольку координаты середин диагоналей MK и NP совпадают ($O = O'$), диагонали четырёхугольника MNKP пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Согласно признаку параллелограмма, это доказывает, что четырёхугольник MNKP является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.