Номер 175, страница 53 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 37:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 37

175. Какие из векторов, изображённых на рисунке 37:

1) равны;

2) сонаправлены;

3) противоположно направлены;

4) коллинеарны;

5) имеют равные модули?

Рис. 37

Для решения задачи определим координаты каждого вектора, считая, что сторона одной клетки координатной сетки равна 1. Координаты вектора определяются как разность координат его конца и начала $(\Delta x; \Delta y)$.

• $\vec{a} = (0; 2)$
• $\vec{b} = (0; -2)$
• $\vec{c} = (-2; -2)$
• $\vec{d} = (3; -2)$
• $\vec{k} = (4; -2)$
• $\vec{m} = (-2; -1)$
• $\vec{n} = (2; -1)$
• $\vec{p} = (0; 3)$
• $\vec{q} = (1; -1)$
• $\vec{s} = (0; 2)$
• $\vec{x} = (2; -1)$
• $\vec{y} = (0; 1)$

1) равны

Два вектора называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. Это равносильно тому, что их соответствующие координаты равны. Сравнивая координаты векторов, находим:

• $\vec{a} = (0; 2)$ и $\vec{s} = (0; 2)$, следовательно $\vec{a} = \vec{s}$.
• $\vec{n} = (2; -1)$ и $\vec{x} = (2; -1)$, следовательно $\vec{n} = \vec{x}$.

Ответ: $\vec{a}$ и $\vec{s}$; $\vec{n}$ и $\vec{x}$.

2) сонаправлены

Векторы сонаправлены, если они коллинеарны и направлены в одну сторону. Это означает, что координаты одного вектора можно получить из координат другого умножением на положительное число. Например, $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, где $k > 0$.

• Равные векторы всегда сонаправлены: ($\vec{a}$ и $\vec{s}$), ($\vec{n}$ и $\vec{x}$).
• Вертикальные векторы, направленные вверх: $\vec{a}(0; 2)$, $\vec{p}(0; 3)$, $\vec{s}(0; 2)$, $\vec{y}(0; 1)$. Все они сонаправлены, так как их первые координаты равны нулю, а вторые положительны. Например, $\vec{a} = 2\vec{y}$.
• Векторы $\vec{k}(4; -2)$, $\vec{n}(2; -1)$ и $\vec{x}(2; -1)$ также сонаправлены. Например, $\vec{k} = 2 \cdot \vec{n}$, где коэффициент $k=2$ является положительным.

Ответ: Любая пара векторов из группы $\{\vec{a}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}\}$ сонаправлена. Любая пара векторов из группы $\{\vec{k}, \vec{n}, \vec{x}\}$ сонаправлена.

3) противоположно направлены

Векторы противоположно направлены, если они коллинеарны и направлены в разные стороны. Это означает, что координаты одного вектора можно получить из координат другого умножением на отрицательное число. Например, $\vec{v} = k \cdot \vec{u}$, где $k < 0$.

• Рассмотрим вертикальные векторы. Векторы $\vec{a}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$ направлены вверх (вторая координата положительна), а вектор $\vec{b}$ направлен вниз (вторая координата отрицательна).
• Сравним $\vec{b}(0; -2)$ с вектором $\vec{a}(0; 2)$: $\vec{b} = -1 \cdot \vec{a}$. Коэффициент $k = -1$ отрицателен, значит, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ противоположно направлены.
• Аналогично, вектор $\vec{b}$ будет противоположно направлен каждому из векторов $\vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$.

Ответ: Вектор $\vec{b}$ противоположен каждому из векторов $\vec{a}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$ (например, $\vec{a}$ и $\vec{b}$).

4) коллинеарны

Векторы коллинеарны, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Это означает, что их координаты пропорциональны. Коллинеарные векторы могут быть как сонаправленными, так и противоположно направленными.

• Все вертикальные векторы ($\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}$) коллинеарны друг другу, так как их первые координаты равны нулю.
• Векторы $\vec{k}(4; -2)$, $\vec{n}(2; -1)$ и $\vec{x}(2; -1)$ коллинеарны, так как их координаты пропорциональны (отношение координат $y/x$ для них постоянно и равно $-1/2$).

Ответ: Любая пара векторов из группы $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{p}, \vec{s}, \vec{y}\}$ коллинеарна. Любая пара векторов из группы $\{\vec{k}, \vec{n}, \vec{x}\}$ коллинеарна.

5) имеют равные модули

Модуль (длина) вектора с координатами $(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$. Вычислим модули всех векторов:

• $|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
• $|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-2)^2} = 2$
• $|\vec{c}| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
• $|\vec{d}| = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13}$
• $|\vec{k}| = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
• $|\vec{m}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{p}| = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$
• $|\vec{q}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
• $|\vec{s}| = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$
• $|\vec{x}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
• $|\vec{y}| = \sqrt{0^2 + 1^2} = 1$

Группируем векторы с равными модулями:

• Модуль равен 2: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{s}$.
• Модуль равен $\sqrt{5}$: $\vec{m}, \vec{n}, \vec{x}$.

Ответ: $\vec{a}, \vec{b}, \vec{s}$ (модуль равен 2); $\vec{m}, \vec{n}, \vec{x}$ (модуль равен $\sqrt{5}$).