Номер 171, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

171. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $E (-4; 3)$ и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) $30^\circ$;

2) $120^\circ$.

171. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $E (-4; 3)$ и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) $30^\circ$;

2) $120^\circ$.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку $E(x_0; y_0)$ и образующей с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, используется уравнение прямой с угловым коэффициентом:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

Здесь $k$ — угловой коэффициент, который равен тангенсу угла наклона прямой: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи, прямая проходит через точку $E(-4; 3)$, следовательно, $x_0 = -4$ и $y_0 = 3$.

1) Угол $\alpha = 30^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставим координаты точки $E(-4; 3)$ и найденный угловой коэффициент в уравнение прямой:

$y - 3 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - (-4))$

$y - 3 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x + 4)$

Чтобы привести уравнение к более удобному виду, умножим обе части на 3:

$3(y - 3) = \sqrt{3}(x + 4)$

$3y - 9 = \sqrt{3}x + 4\sqrt{3}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$\sqrt{3}x - 3y + 9 + 4\sqrt{3} = 0$

Ответ: $\sqrt{3}x - 3y + 9 + 4\sqrt{3} = 0$.

2) Угол $\alpha = 120^\circ$.

Найдем угловой коэффициент $k$:

$k = \tan(120^\circ) = \tan(180^\circ - 60^\circ) = -\tan(60^\circ) = -\sqrt{3}$

Подставим координаты точки $E(-4; 3)$ и найденный угловой коэффициент в уравнение прямой:

$y - 3 = -\sqrt{3}(x - (-4))$

$y - 3 = -\sqrt{3}(x + 4)$

Раскроем скобки:

$y - 3 = -\sqrt{3}x - 4\sqrt{3}$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить общее уравнение прямой:

$\sqrt{3}x + y - 3 + 4\sqrt{3} = 0$

Ответ: $\sqrt{3}x + y - 3 + 4\sqrt{3} = 0$.