Номер 166, страница 52 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой $x + 3y = -6$.

166. Найдите расстояние от начала координат до прямой $x+3y=-6$.

Для нахождения расстояния от точки до прямой используется специальная формула. Сначала необходимо привести уравнение прямой к общему виду $Ax + By + C = 0$.

Исходное уравнение прямой: $x + 3y = -6$.
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить общий вид:
$x + 3y + 6 = 0$.
Отсюда мы можем определить коэффициенты: $A=1$, $B=3$, $C=6$.

Точка, от которой мы ищем расстояние, — это начало координат, то есть точка $M(x_0, y_0)$ с координатами $(0, 0)$.

Формула для вычисления расстояния $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой, заданной уравнением $Ax + By + C = 0$, выглядит следующим образом:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Теперь подставим известные значения в эту формулу:
$x_0 = 0$, $y_0 = 0$, $A=1$, $B=3$, $C=6$.
$d = \frac{|1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 6|}{\sqrt{1^2 + 3^2}}$

Произведем вычисления:
В числителе: $|1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + 6| = |0 + 0 + 6| = |6| = 6$.
В знаменателе: $\sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$.

Таким образом, расстояние равно:
$d = \frac{6}{\sqrt{10}}$

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе. Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt{10}$:
$d = \frac{6 \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{6\sqrt{10}}{10}$

Сократим полученную дробь на 2:
$d = \frac{3\sqrt{10}}{5}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{10}}{5}$.