Номер 162, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

162. Найдите координаты точки пересечения прямых $2x - 5y = 7$ и $-x + 3y = 12$.

162. Найдите координаты точки пересечения прямых $2x - 5y = 7$ и $-x + 3y = 12.$

Чтобы найти координаты точки пересечения прямых, необходимо решить систему линейных уравнений, которыми заданы эти прямые. Координаты $(x; y)$ точки пересечения будут являться решением этой системы.

Составим систему уравнений:
$ \begin{cases} 2x - 5y = 7 \\ -x + 3y = 12 \end{cases} $

Решим эту систему методом алгебраического сложения. Для этого умножим второе уравнение системы на 2, чтобы коэффициенты при переменной $x$ стали противоположными числами.
$(-x + 3y) \cdot 2 = 12 \cdot 2$
$-2x + 6y = 24$

Теперь наша система уравнений выглядит так:
$ \begin{cases} 2x - 5y = 7 \\ -2x + 6y = 24 \end{cases} $

Теперь сложим почленно левые и правые части уравнений:
$(2x - 5y) + (-2x + 6y) = 7 + 24$
Приведем подобные слагаемые:
$(2x - 2x) + (-5y + 6y) = 31$
$y = 31$

Мы нашли значение координаты $y$. Теперь подставим это значение в любое из исходных уравнений, чтобы найти $x$. Удобнее подставить во второе уравнение: $-x + 3y = 12$.
$-x + 3 \cdot 31 = 12$
$-x + 93 = 12$
$-x = 12 - 93$
$-x = -81$
$x = 81$

Таким образом, мы нашли координаты точки пересечения: $(81; 31)$.

Для уверенности выполним проверку, подставив найденные значения $x=81$ и $y=31$ в первое исходное уравнение $2x - 5y = 7$:
$2 \cdot 81 - 5 \cdot 31 = 7$
$162 - 155 = 7$
$7 = 7$
Равенство верное, следовательно, координаты найдены правильно.

Ответ: (81; 31).