Номер 157, страница 51 - гдз по геометрии 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 8x + y^2 + 10y - 31 = 0$. Определите положение точек $O (0; 0)$, $A (-1; 2)$ и $B (10; 1)$ относительно этой окружности.

157. Найдите координаты центра и радиус окружности, заданной уравнением $x^2 - 8x + y^2 + 10y - 31 = 0$. Определите положение точек $O (0; 0)$, $A (-1; 2)$ и $B (10; 1)$ относительно этой окружности.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности преобразуем данное уравнение к каноническому виду $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a; b)$ — это координаты центра, а $R$ — радиус. Для этого используем метод выделения полного квадрата.

Исходное уравнение: $x^2 - 8x + y^2 + 10y - 31 = 0$.
Сгруппируем переменные и перенесем свободный член в правую часть:
$(x^2 - 8x) + (y^2 + 10y) = 31$
Дополним каждое выражение в скобках до полного квадрата. Для этого к выражению $x^2 - 8x$ нужно добавить $(\frac{8}{2})^2 = 16$, а к выражению $y^2 + 10y$ — $(\frac{10}{2})^2 = 25$. Чтобы уравнение осталось верным, эти же числа нужно добавить и в правую часть:
$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 10y + 25) = 31 + 16 + 25$
Теперь свернем левую часть в полные квадраты:
$(x - 4)^2 + (y + 5)^2 = 72$
Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом, находим, что центр окружности находится в точке с координатами $(4; -5)$, а квадрат радиуса $R^2 = 72$.
Следовательно, радиус $R = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}$.

Теперь определим положение точек $O(0; 0)$, $A(-1; 2)$ и $B(10; 1)$ относительно окружности. Для этого нужно подставить координаты каждой точки в левую часть канонического уравнения $(x - 4)^2 + (y + 5)^2$ и сравнить полученное значение с квадратом радиуса $R^2 = 72$.

Для точки O (0; 0):
Подставляем координаты в выражение: $(0 - 4)^2 + (0 + 5)^2 = (-4)^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$.
Так как $41 < 72$ (то есть $41 < R^2$), точка O находится внутри окружности.

Для точки A (-1; 2):
Подставляем координаты в выражение: $(-1 - 4)^2 + (2 + 5)^2 = (-5)^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$.
Так как $74 > 72$ (то есть $74 > R^2$), точка A находится вне окружности.

Для точки B (10; 1):
Подставляем координаты в выражение: $(10 - 4)^2 + (1 + 5)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$.
Так как $72 = 72$ (то есть $72 = R^2$), точка B находится на окружности.

Ответ: Координаты центра окружности — $(4; -5)$, радиус — $6\sqrt{2}$. Точка O(0; 0) лежит внутри окружности, точка A(-1; 2) лежит вне окружности, и точка B(10; 1) лежит на окружности.